Esercizio difficile su massimi e minimi in due variabili

[Michele Di Guida]

Salve ragazzi, il mio professore di analisi ci ha sottoposto questo esercizio all'esame:
Studiare i punti critici della funzione $ f:RR^2->RR $ data ta $ f(x,y)=e^((x^2-4y^2-1)^7) $.
Si dica se l'insieme di livello $ {(x,y)inRR^2|f(x,y)=1/e } $ è parametrizzabile da una curva
regolare e, se possibile, si scriva l'equazione della retta tangente nel punto $ (2,1) $ .

Ho molta difficoltà a svolgerlo, perchè credo che il metodo dell'Hessiano non vada usato, ma non riesco a trovare una alternativa. Vi dico come ho iniziato a svolgerlo:
prima di tutto ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x e a y:
$ (deltaf)/(deltax)(x,y)= 7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(2x) $
$ (deltaf)/(deltay)(x,y)= 7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(-8y) $
Per trovare i punti critici devo risolvere il sistema:
$ { (7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(2x)=0 ),( 7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(-8y)=0):} $

Una soluzione del sistema è sicuramente $ (0,0) $, ma un'altra soluzione sono i punti ${(x,y)inRR^2|x^2-4y^2=1}$
Ora, carlcolare la matrice delle derivate seconde mi spaventa data la mole dei calcoli... come potrei fare?

[Michele Di Guida]

Scusami ma non comprendo questa parte:

i propri punti critici sono dati da \[ \nabla f(x,\,y) = (0,\,0) \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; (x,\,y) = (0,\,0) \; \vee \; (x,\,y) = \left(\pm \cosh t, \; \frac{1}{2}\,\sinh t\right)\,, \; \forall\,t \in \mathbb{R} \; . \]

Perchè vengono fuori coseno e seno iperbolici? Tra l'altro il mio corso ha solo accennato alle funzioni iperboliche...

[vict85]

Tu hai una funzione del tipo \(\displaystyle f(x,y) = e^{g(x,y)} \). È evidente che, a meno di avere \(\displaystyle g(x,y)\to -\infty \), \(\displaystyle f(x,y) > 0 \) per ogni \(\displaystyle x,y\in \mathbb{R}^2 \). Siccome

Hai inoltre che \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = f(x,y)g(x,y)\frac{\partial g}{\partial x} \) e similmente \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = f(x,y)g(x,y)\frac{\partial g}{\partial y} \).

Siccome stai ponento \(\displaystyle 0 = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \) devi sostanzialmente porre \(\displaystyle 0 = g(x,y)\frac{\partial g}{\partial x} = g(x,y)\frac{\partial g}{\partial y} \) le cui soluzioni solo le coppie \(\displaystyle (x,y) \in\mathbb{R}^2\) per cui \(\displaystyle 0 = \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} \) oppure \(\displaystyle g(x,y) = 0 \).

[Michele Di Guida]

fin qui c'ero, ma non capisco perchè le soluzioni di $ g(x,y)=0 $ sono $ (x,y)=(+-cosht,1/2sinht) ,tinRR $

[vict85]

\(x^2 - 4x^2 -1=0\) è una iperbole, seno e coseno iperbolico sono gli equivalenti per l'iperbole del seno e coseno.

[alessio76]

fin qui c'ero, ma non capisco perchè le soluzioni di $ g(x,y)=0 $ sono $ (x,y)=(+-cosht,1/2sinht) ,tinRR $

Ciao,

le funzioni seno e coseno iperbolico parametrizzano l'iperbole così come le funzioni goniometriche seno e coseno parametrizzano la circonferenza goniometrica.
L'utente TeM ti ha fornito una rappresentazione parametrica dei punti critici che stanno sull'iperbole (individuata anche da te)...

Per semplificarti un po' la vita potresti osservare che la tua funzione $f$ è composta di $p(x,y):=x^2-4y^2-1$ e della funzione strettamente crescente $h(t):=e^{t^7}$... Cosa sai dire di $\nabla (h\circ p)$...?

MODIFICATO: ti stava già rispondendo vict85...

[Camillo]

Forse scrivo cose già dette e conosciute, comunque :
per le funzioni trigonometriche vale la relazione fondamentale $ sen^2x+cos^2 x=1 $ che per le funzioni iperboliche diventa $cosh^2x -senh^2 x=1 $.

[Michele Di Guida]

Ok ci sono... Mi destabilizzava il coseno iperbolico e anche il metodo del segno che conoscevo poco...
Per quanto riguarda la seconda parte ho pensato di applicare il teorema del Dini:
$ f(x,y)=1/e => G(x,y)=e^((x^2-4y^2 -1)^7) - 1/e $
Noto che la funzione G e' continua e derivabile in tutto $ RR^2 $ e che
$ G(2,1)=0; (deltaG)/(deltay) (2,1)=-56/e!=0 $
Sono nelle condizioni di poter applicare il teorema del dini, per cui
$ EE $ un intorno $ I $ di $ RR^2 $ tale che $ y=f(x), AAx,yinI $
e inoltre $ f'(x)=-(G_x(2,1))/(G_y(2,1)) $
$ G_x(2,1)=28/e $
$ f'(x)=(28/e)(e/56)=1/2 $
$ y(x)=f'(x)(x-x_0)+y_0 => y(x)=1/2x $

Non so come procedere per la curva... per la regolarità di una curva ho bisogno che la derivata prima della curva gamma non presenti in alcun punto entrambe le componenti nulle, ma non riesco a capire come posso parametrizzare l'insieme di livello....

[Michele Di Guida]

Grazie mille, siete stati fin troppo chiari!

[Michele Di Guida]

Salve ragazzi... Mi hanno detto che al ricevimento il nostro professore ha risolto questo esercizio ponendo il polinomio uguale a t e poi considerando la funzione composta, da quello che ho capito risulta molto più veloce e semplice risolvere l'esercizio in questo modo... Io ci ho provato ma non riesco a pervenire ad una soluzione... non e' che qualcuno potrebbe farmi vedere come si svolge?