Maggiorazione prodotto convoluzione

[AlyAly]

Ciao a tutti, non mi sono chiari un paio di passaggi in cui viene maggiorato un prodotto di convoluzione:
\( |z_n(x)\rho_n\ast \overline {u(x)}|\leq \int_{\mathbb{R}^n }|\rho_n(x-y)||\overline {u(x)}| dy
\leq \| u \|_{L^p}\int|\rho_n(x-y)|dy=\| u \|_{L^\infty } \)
dove:
$z_n$ è una successione di funzioni di classe $C^\infty $ a supporto compatto che assume valori compresi tra zero e uno
$\rho_n$ è una successione di identità approssimanti
$u(x)$ è una funzione appartenente a $W^{1,p}(\Omega)$ per $1\leq p < \infty $, $\Omega$ è un aperto di $RR^n$
$\bar{u(x)}$ è il prolungamento di $u(x)$ a zero al di fuori di $\Omega$, cioè $ \bar(u(x))={ ( u(x)\qquad x\in \Omega ),( 0 \qquad x \notin \Omega ):} $

La prima disuguaglianza mi è chiara, è solo stata applicata la definizione di convoluzione e $z_n(x)$ è stato maggiorato con 1...per gli altri due passaggi buio completo...può essere che è stato usato Holder in qualche modo che non mi risulta chiaro? o se no cosa è stato usato?Suggerimenti?

[Rigel]

Nel terzo passaggio immagino ci sia \(\|u\|_{L^\infty}\).
Immagino inoltre che si stia considerando il caso \(p > n\) (altrimenti non è detto che \(u\in L^\infty\)).
L'ultimo passaggio discende dal fatto che \(\rho\geq 0\) e che, per definizione di nucleo di convoluzione, il suo integrale vale \(1\).

[AlyAly]

Probabilmente hai ragione,io negli appunti avevo segnato $|| u ||_{L^p}$ ma se fosse $|| u ||_{L^\infty}$ avrebbe tutto molto più senso...probabilmente avrò sbagliato a scrivere! Comunque grazie,ora mi è tutto molto più chiaro