Esistenza del limite

[Gold D Roger]

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Condizione necessaria e sufficiente affinché un limite esista e sia finito:

$f:A to mathbb{R}$, \( A\subseteq \mathbb{R^2}, (x_o,t_o) \in DA \)
Allora le seguenti condizioni sono equivalenti

(1) \( \lim_{(x,y)\to (x_o,y_o)} f=l \)

(2) \( \forall B\subset A \) t.c. $ (x_o,t_o) \in DB$ \( \Rightarrow \lim_{(x,y)\to (x_o,y_o)} f=l \) con $(x,y) in B$.

Corollario

$f:A to mathbb{R}$, \( A\subseteq \mathbb{R^2}, (x_o,t_o) \in DA \)

se (a) \( \exists B_1, B_2 \subset A \) t.c. \( (x_o,y_o)\in DB_1\cap DB_2 \) e

se (b) \( \lim_{(x,y)\in B_1 \to (x_o,y_o)} f \neq lim_{(x,y)\in B_2 \to (x_o,y_o)} f \)

\( \Rightarrow \nexists \lim_{(x,y)\to (x_o,y_o)} f \)

Non riesco a capire questa enunciato, o meglio penso che ci sia un errore nei miei appunti.

Perché per il punto (b) i due limiti non dovrebbero essere uguali? Il punto che tende a $(x_0, y_0)$ è sempre lo stesso anche se per il primo limite appartiene a $B_1$ e per il secondo, invece, a $B_2$.

[@melia]

A me sembra corretto. Pensa alla funzione $f(x,y)=(x^2+y^2)/(xy)$ in $(0,0)$, come insieme $B_1$ la retta passante per l'origine $y=x$ e come insieme $B_2$ la retta $y=2x$.
La funzione, quando $x$ si muove in $B_1$, viene $f(x,x)=(x^2*2)/(x^2)=2$ per cui anche il limite viene 2, visto che nella retta la funzione è costante, mentre se $x$ si muove in $B_2$ viene $f(x,2x)=(x^2*5)/(2x^2)=5/2$ e anche il limite vale $5/2$, i due limiti sono diversi quindi non esiste il
$lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$

[Gold D Roger]

A perfetto, avevo fatto un po' di confusione perché ai due insiemi $B_1, B_2$ attribuivo la stessa funzione $f(x, y)$.

Quindi è come nel caso di un limite con una sola variabile: esso esiste convergente se e solo se il limite destro e sinistro convergono e sono uguali.

[@melia]

Sì, una cosa simile, nel senso che non è da destra o da sinistra, ma dalla $y=g(x)$ su cui si muove.

[Gold D Roger]

Ottimo, grazie per la chiarificazione