Studio di funzione e derivata

[@melia]

Credo di aver risolto l'arcano.

La derivata prima si annulla in $-8/3$ che è molto vicino a $-3$ e se il grafico non è molto preciso (bisogna fare lo zoom) il flesso a tangente verticale presente in $-3$ e il minimo a $-8/3$ sembrano coincidere e generare una cuspide. Invece in 0 la cuspide c'è sul serio.

[alessandro8]

Credo di aver risolto l'arcano.

La derivata prima si annulla in $ -8/3 $ che è molto vicino a $ -3 $ e se il grafico non è molto preciso (bisogna fare lo zoom) il flesso a tangente verticale presente in $ -3 $ e il minimo a $ -8/3 $ sembrano coincidere e generare una cuspide. Invece in 0 la cuspide c'è sul serio.

Tutto vero.

La conferma, da un punto di vista grafico, di questi risultati la si può avere, in modo chiaro, tramite il sito segnalato nel mio post precedente.

Saluti.

[dan95]

Si infatti il grafico di wolfram è abbastanza piccolo e sembrava una cuspide.

[axpgn]

Ascoltate Mazzarri ... fidatevi ...

[alessandro8]

Ciao a tutti.

Ulteriore approfondimento: diverso tempo fa, in un altro topic e su una questione analoga, qualcuno mi fece presente che...

No, non si calcola il limite di $f'(x)$. Invece si calcola la cosiddetta "derivata unilaterale":
\[
f'_+(a)=\lim_{h\to 0,\ h>0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]
(e l'ovvia variante \(f'_{-}(b)\)). Sotto opportune ipotesi su $f'$, queste derivate coincidono con i limiti $\lim_{x\to a^+}f'(x)$ e $\lim_{x\to b^-}f'(x)$. [...]. Finché la derivata è una funzione continua, tutte queste sottigliezze spariscono, ma può capitare una funzione la cui derivata presenti discontinuità.

Presumo che, in teoria, si sarebbe dovuto procedere in quest'altro modo per calcolare le derivate destre e sinistre in $-3$, visto che, nell'esercizio proposto avevamo $f'(x)$ discontinua in $x=-3$.

Perchè, in questo esempio, per usare le parole dell'autore della citazione, "la sottigliezza sarebbe sparita", nonostante la discontinuità di $f'(x)$ in $x=-3$?

Voi che ne pensate?

Saluti.

[dan95]

Se non ho capito male quello che diceva Fioravante e che venne ribadito da Dissonance qualche tempo fa, è che sotto opportune ipotesi vale la seguente uguaglianza:
$$\lim_{x\rightarrow x_0^+}(\lim_{h \rightarrow 0, h>0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h})=\lim_{h\rightarrow 0,h>0}(\lim_{x \rightarrow x_0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h})$$
Ovviamente anche per il caso $x \rightarrow x_0^-$.

[alessandro8]

No, dan95.

Quello che sostanzialmente si sosteneva era che, se vengono soddisfatte opportune ipotesi, vale:

$lim_{x to x_0^+}f'(x)=lim_{h to 0,h>0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$

$lim_{x to x_0^-}f'(x)=lim_{h to 0,h<0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$

Sono proprio le "opportune ipotesi" a interessarmi; credo (ma non ne sono certo, per questo motivo proponevo l'approfondimento) che l'ipotesi necessaria affinchè le due uguaglianze scritte sopra siano vere, sia che valga

$f(x)inC^1((x_0-epsilon,x_0+epsilon)-{x_0})$ per un opportuno $epsilon>0$.

Giusto?

Saluti.

[alessandro8]

Un momento... forse le ipotesi vanno distinte in questo modo:

1) $lim_{x to x_0^+}f'(x)=lim_{h to 0,h>0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$

purchè $f(x)inC^1((x_0;x_0+epsilon))$ per un opportuno $epsilon>0$.

2) $lim_{x to x_0^-}f'(x)=lim_{h to 0,h<0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$

purchè $f(x)inC^1((x_0-epsilon;x_0))$ per un opportuno $epsilon>0$.

Giusto?

Saluti.

[mazzarri]

Ascoltate Mazzarri ... fidatevi ...

Eh si Alex... grazie buona giornata!!