Derivate parziali di una funzione integrale

[poll89]

Ciao a tutti, vado subito al punto. La funzione di cui parlo è $F_alpha (x,y) = int_x^y (|t|^alpha)/root(3)(sin(t)) dt$. Il professore ha calcolato le derivate parziali come fosse un argomento ovvio e banale, e vorrei lo diventi anche per me si ottiene $del/(del x) F(x,y) = - (|x|^alpha)/root(3)(sin(x))$
$del/(del y) F(x,y) = (|y|^alpha)/root(3)(sin(y))$

Come ci è arrivato? Più in generale, c'è un modo standard di calcolare le derivate parziali di funzioni definite tramite integrali?

[gugo82]

Qual è l'enunciato del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale?

[poll89]

Beh io conosco l'enunciato in in $RR$: se $f:A sub RR -> RR$ è integrabile su A, definendo $F(x) = int_a^x f(t) dt$ con $a,x in A$, ho che se f è continua in A allora F è differenziabile in A e si fa $F^'(x) = f(x)$, avendo poi $int_a^b f(t) dt = f(b) - F(a)$.
Però non riesco ad applicarlo a questa funzione.

[quantunquemente]

quando derivi rispetto ad y è come se dovessi derivare la funzione $ int_(a)^(y) f(t) dt $
quando derivi rispetto ad x è come se dovessi derivare la funzione $ int_(x)^(a) f(t) dt $

con $a$ costante,ovviamente

[poll89]

Ok, vi ringrazio per le risposte ma ancora non ci sono. Quello è chiedo è la regoletta meccanica per calcolare le derivate che ho indicato. Ora, se $F(x,y) = int_(g(x,y))^(h(x,y)) f(t) dt$ allora, così ad occhio, potrebbe essere qualcosa del tipo $del/(delx) F(x,y) = f(g(x,y)) del/(del x) g(x,y) - f(h(x,y)) del/(del x) h(x,y)$, e dato che qui ho $g(x,y) =y$ e $h(x,y) = x$ tutto tornerebbe.
Conferme, smentite, insulti, amichevoli correzioni?

[gugo82]

Beh io conosco l'enunciato in in $RR$: se $f:A sub RR -> RR$ è integrabile su A, definendo $F(x) = int_a^x f(t) dt$ con $a,x in A$, ho che se f è continua in A allora F è differenziabile in A e si fa $F^'(x) = f(x)$

Appunto.
Quindi, stabilito dove la funzione integranda è continua (cosa che puoi far da solo, distinguendo un po' di casi a seconda dei valori di \(\alpha\)), per ogni \(y\) scelto "decentemente", la derivata parziale della funzione \(F(x,y)\) rispetto ad \(x\) coincide con la derivata usuale della funzione parziale:
\[
x\mapsto \phi_y (x) = F(x,y) = \int_x^y \frac{|t|^\alpha}{\sqrt[3]{\sin t}}\ \text{d} t = -\int_y^x \frac{|t|^\alpha}{\sqrt[3]{\sin t}}\ \text{d} t
\]
la quale -a norma del teorema- è:
\[
\phi_y^\prime (x) = - \frac{|x|^\alpha}{\sqrt[x]{\sin x}}\; .
\]
Analogamente si ragiona con la derivata rispetto ad \(y\).

[poll89]

Ok ora ho capito. Grazie

[quantunquemente]

ma perchè,quello che avevo detto io non era chiaro ?