Limite irrisolto

Messaggioda fifty_50 » 07/07/2015, 02:42

Ciao ragazzi,
E' da un bel pò che sto cercando di risolvere questo limite, ma proprio non riesco a capirne il procedimento. Ho provato di tutto: razionalizzazione del denominatore, De l'Hopital (più volte)... Ma mi compare sempre la forma intederminata $0/0$.
Vi preannuncio che il libro riporta come soluzione "Non esiste, ma esistono i limiti destro e sinistro...".
Qualcuno di buon cuore può aiutarmi? Grazie in anticipo a chi risponderà. :)

$ lim_(x ->pi/2) (x- pi/2)/sqrt (1-senx) $
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Re: Limite irrisolto

Messaggioda alessandro8 » 07/07/2015, 07:41

Ciao.

Io avrei un'idea, per la risoluzione del limite...

fifty_50 ha scritto:E' da un bel pò che sto cercando di risolvere questo limite, ma proprio non riesco a capirne il procedimento. Ho provato di tutto.


... ma tu che tentativi avresti effettuato?

Saluti.
alessandro8
 

Re: Limite irrisolto

Messaggioda fifty_50 » 07/07/2015, 09:48

Grazie per la risposta. Allora, essendo per $x->pi/2$ non si puo' ricondurre a limiti notevoli goniometrici. Giusto? Ho provato con la razionalizzazione, ho provato con De l'Hôpital... Ma niente, la forma indeterminata $0/0$ mi compare puntualmente.

Qualcuno ha qualche idea?
fifty_50
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Re: Limite irrisolto

Messaggioda alessandro8 » 07/07/2015, 10:15

Ciao.

Si potrebbe provare così:

$lim_(x ->pi/2) (x- pi/2)/sqrt (1-senx)=lim_(x ->pi/2) (x- pi/2)/sqrt (1-senx)*sqrt (1+senx)/sqrt (1+senx)=lim_(x ->pi/2) (x- pi/2)/sqrt (1-sen^2x)*sqrt (1+senx)$

cioè

$lim_(x ->pi/2) (x- pi/2)/sqrt (1-senx)=lim_(x ->pi/2) (x- pi/2)/sqrt (cos^2x)*sqrt (1+senx)=lim_(x ->pi/2) (x- pi/2)/|cosx|*sqrt (1+senx)$

quindi

$lim_(x ->pi/2) (x- pi/2)/sqrt (1-senx)=(lim_(x ->pi/2)(x- pi/2)/|cosx|)*(lim_(x ->pi/2)sqrt (1+senx))=sqrt2*lim_(x ->pi/2)(x- pi/2)/|cosx|$

A questo punto si sdoppia il limite, tenendo conto che

$|cosx|={(cosx,xto(pi/2)^-),(-cosx,xto(pi/2)^+):}$

Si ha:

1) $x ->(pi/2)^-$;

$lim_(x ->(pi/2)^-) (x- pi/2)/sqrt (1-senx)=sqrt2*lim_(x ->(pi/2)^-)(x- pi/2)/cosx=sqrt2*lim_(x ->(pi/2)^-)1/((-sinx))=-sqrt2$

2) $x ->(pi/2)^+$;

$lim_(x ->(pi/2)^+) (x- pi/2)/sqrt (1-senx)=sqrt2*lim_(x ->(pi/2)^+)(x- pi/2)/((-cosx))=sqrt2*lim_(x ->(pi/2)^+)1/sinx=sqrt2$

Saluti.
alessandro8
 

Re: Limite irrisolto

Messaggioda fifty_50 » 07/07/2015, 10:31

Grazie mille!!! :D
Quando ho provato con la razionalizzazione, il mio procedimento era uguale al tuo, ma l'errore che commettevo era non mettere il valore assoluto $|cosx|$ dopo aver tolto la radice. Giusto.
Difatti a quel punto mi bloccavo!

Ti ringrazio ancora :wink:
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Re: Limite irrisolto

Messaggioda alessandro8 » 07/07/2015, 10:37

Di nulla.

Saluti.
alessandro8
 

Re: Limite irrisolto

Messaggioda alessio76 » 07/07/2015, 11:18

fifty_50 ha scritto:Grazie per la risposta. Allora, essendo per $x->pi/2$ non si puo' ricondurre a limiti notevoli goniometrici. Giusto? Ho provato con la razionalizzazione, ho provato con De l'Hôpital... Ma niente, la forma indeterminata $0/0$ mi compare puntualmente.

Qualcuno ha qualche idea?


Ciao, come soluzione alternativa, volendo usare i limiti notevoli puoi ricordare che
$$
\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)
$$
così
$$
\frac{x-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin x}}=\frac{x-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}}=
\frac{y}{\sqrt{1-\cos y}}\quad\textrm{(per }y=x-\frac{\pi}{2}\to 0\textrm{)}
$$
Per $y>0$ puoi scrivere
$$
\frac{y}{\sqrt{1-\cos y}}=\sqrt{\frac{y^2}{1-\cos y}}
$$
mentre per $y<0$ è
$$
\frac{y}{\sqrt{1-\cos y}}=-\sqrt{\frac{y^2}{1-\cos y}}
$$
Ora ti basta usare il limite notevole
$$
lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2}
$$

MODIFICATO: alcuni cos erano rimasti sin....sorry
alessio76
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Re: Limite irrisolto

Messaggioda fifty_50 » 07/07/2015, 14:44

Altro metodo illuminante! Grazie mille ad entrambi
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