Esercizio su campi vettoriali

[davide12]

Ciao, ho trovato in un esame di analisi 2 della mia professoressa un esercizio:

Data la funzione: \( \displaystyle f(x,y)=x^{4}e^{3y} \)
a) determinare la derivata direzionale \( \displaystyle Dv(−1, 0) \) ;
b) determinare per quali versori V la derivata Dv` è massima;
c) determinare per quali versori V la derivata Dv` è nulla.

Come devo procedere per rispondere ai punti B e C? Non riesco proprio a capire, non ho trovato niente su internet e l'esercizio non è neanche risolto. Grazie a chiunque voglia aiutarmi.

[alessandro8]

Ciao.

Immaginerei che, in pratica, si debba introdurre un generico versore del tipo $v_theta=(costheta,sintheta)$, con $theta in [0,2pi)$, rispetto al quale calcolare la derivata direzionale e, successivamente, vedere come dovrebbe cambiare la derivata direzionale in funzione di $theta$.

Saluti.

[shinobi9]

ciao premetto che faccio ingegneria magari ti risponderanno in modo migliore.però mi veniva in mente questo per il punto B:
tu sai che la Dv(derivata direzionale in direz v) in un punto è data dal prodotto scalare tra gradiente(facilissimo da calcolare) e il versore.e penso sia questo il modo con cui hai calcolato il punto a) del problema (è strano che in a) non ti abbia detto su quale punto calcolarla ma solo il versore o viceversa se con (-1,0) intendi il punto.. comunque ok..). ora questa scrittura suddetta equivale a dire che la derivata direzionale è pari al prodotto tra il modulo del gradiente e del versore (pari a 1 dato che è un versore) per cos (a) ovvero: Dv=|grad (f)|*cos(a) ovviamente quindi è massima se cos (a) =1..in tal caso avresti quindi Dv=|grad (f)|. quindi scrivendo in questa espressione Dv come prodotto scalare tra gradiente e versore hai grad(f)×v=|grad(f)| ovvero...df/dx*vx+df/dy*vy=|grad (f)| ....vedi se può esserti utile..ps:mi scuso per le formule ma risponde(come sempre) dal cellulare..

[dissonance]

ciao premetto che faccio ingegneria magari ti risponderanno in modo migliore.però mi veniva in mente questo per il punto B:
tu sai che la Dv(derivata direzionale in direz v) in un punto è data dal prodotto scalare tra gradiente(facilissimo da calcolare) e il versore.e penso sia questo il modo con cui hai calcolato il punto a) del problema (è strano che in a) non ti abbia detto su quale punto calcolarla ma solo il versore o viceversa se con (-1,0) intendi il punto.. comunque ok..). ora questa scrittura suddetta equivale a dire che la derivata direzionale è pari al prodotto tra il modulo del gradiente e del versore (pari a 1 dato che è un versore) per cos (a) ovvero: Dv=|grad (f)|*cos(a) ovviamente quindi è massima se cos (a) =1..in tal caso avresti quindi Dv=|grad (f)|. quindi scrivendo in questa espressione Dv come prodotto scalare tra gradiente e versore hai grad(f)×v=|grad(f)| ovvero...df/dx*vx+df/dy*vy=|grad (f)| ....vedi se può esserti utile..ps:mi scuso per le formule ma risponde(come sempre) dal cellulare..

Secondo me questa risposta è sbagliata in più punti. In primis il punto in cui calcolare la derivata direzionale è dato: $(-1, 0)$. La formula che dici si scrive così:
\[
\nabla f(-1, 0)\cdot (v_x e_x + x_ye_y) = D_v f (-1, 0), \]
ovvero, la derivata direzionale è uguale al prodotto scalare del gradiente con il versore direzionale. Ma la cosa finisce qui, è sbagliato dire che essa è "equivalente" a non si capisce cosa. (prodotto tra il modulo del gradiente e il modulo del versore...?!?). Il resto della risposta è poco chiaro.

[shinobi9]

dissonance leggi quello che ho scritto sulla terza parentesi...inoltre che il gradiente sia calcolato nel punto ne segue dal fatto che è quello effettivamente il punto... non ne ero sicuro perché poteva anche essere un versore avendo, casualmente, modulo pari a 1..e la formula con il coseno è semplicemente quella che si usa per il calcolo del prodotto scalare...ho detto prdotto tra modulo del gradiente, modulo del versore e coseno angolo tra essi..e non l'ho inventato io xD appena riletto nel libro di analisi e questo serve solo a dimostrare che la derivata direzionale massima è pari al modulo del gradiente
. in sintesi io porrei il primo membro da te scritto uguale al modulo del gradiente!

[davide12]

Grazie per le risposte, finalmente la mia professoressa ha pubblicato le soluzioni dell'esercizio (che avevo scritto nel primo post, non avevo cambiato o tralasciato nulla):
1) La derivata direzionale è:

\( \displaystyle Dvf(-1,0)=(-4e,2e)(cos\theta ,sen\theta )=-4ecos\theta +2esen\theta \)

2)-3) I versori per la quale la derivata direzionale è massima e minima l'ha calcolata cosi:

\( \displaystyle Dvf(-1,0)=\nabla f(-1,0)*v \)

\( \displaystyle dvf(-1,0) \) è max quando \( \displaystyle v \parallel \nabla f(-1,0) \)

\( \displaystyle v=\frac{\nabla f(-1,0)}{\left | \nabla (-1,0) \right |}=\frac{(-4e,2e)}{\sqrt{16e^2+4e^2}}=\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}} \)

\( \displaystyle dvf(-1,0)=0 \) se \( \displaystyle v \bot \nabla f(-1,0) \) e \( \displaystyle v*\nabla f(-1,0)=0 \)
\( \displaystyle -4ev_{1}+2ev_{2}=0 \) risolve il seguente sistema: \( \displaystyle \left\{\begin{matrix}-2v_{1}+v_{2}=0\\ (v_{1})^2+(v_{2})^2=1\end{matrix}\right. \)

\( \displaystyle v=(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}) \)
\( \displaystyle v=(\frac{-1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}) \)

La risoluzione è abbastanza chiara, quello che non ho capito è quali sono i punti di massimo e di minumo che ha trovato visto che lei non l'ha scritto.
Grazie!!

[shinobi9]

ciao! noto che il metodo che ti avevo proposto torna.. quindi semmai riveditelo perché mi pare più "chiaro" a livello geometrico di quello della tua prof ( quello proposto da lei è più intelligente e immediato ma ti fa capire meno)...cmq massimi e minimi in che senso? qui non si parla di massimi o minimi di f ma di derivate direzionali.mi metto in un punto (-1,0) e vedo in che direzione aumenta più o meno la funzione

[davide12]

Si scusami tanto mi ero confuso con un altro esercizio
Il tuo metodo l'ho visto però vorrei usare quello della mia professoressa perchè è
Vorrei chiederti solo una conferma cioè:

B) I versori V dove derivata Dv` è massima sono:
\( \displaystyle v=\frac{\nabla f(-1,0)}{\left | \nabla (-1,0) \right |}=\frac{(-4e,2e)}{\sqrt{16e^2+4e^2}}=\frac{(-2,1)}{\sqrt{5}} \)

A) I versori V dove derivata Dv` è nulla sono: (trovati risolvendo il sistema sopra)
\( \displaystyle v=(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}) \)
\( \displaystyle v=(\frac{-1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}) \)

[shinobi9]

si si sono quelli!:)...

[davide12]

Sembra essere tutto chiaro, grazie ancora per l'aiuto