ci sono varie cosette di cui tener conto :prima di tutto il teorema fondamentale del calcolo integrale che ti dice che $F'(x)=f(x)$
in generale,è bene cominciare con uno studio rapido della funzione integranda
metto comunque in spoiler la mia soluzione
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
la funzione integranda ha come dominio $(0,+infty)-{1}$
è sempre positiva
$ lim_(x -> 1) f(x)=1 ; lim_(x -> 0^+) f(x)=+infty ; lim_(x -> +infty) f(x)=0 $
effettivamente,lo studio della sua derivata non è agevole,ma fortunatamente ci bastano le informazioni acquisite per passare ad $F(x)$
cominciamo col dire subito che per quanto già visto non ci sono problemi nel calcolare $ int_(1)^(1) f(t) dt $ ed il risultato è $0=F(1)$
inoltre ,essendo $f(x)>0,F(x)<0 $ per $0<x<1$ ed $F(x)>0$ per $x>1$
per lo stesso motivo,la $F(x)$ è strettamente crescente
inoltre, $ int_(0)^(1) f(t) dt$ è convergente perchè $f(x)$ è un infinito di ordine minore di $1$ per $x rarr 0$;quindi,$0$ fa parte del dominio di $F(x)$
$ int_(1)^(+infty) f(t) dt=+infty $ perchè $f(x)$ è un infinitesimo di ordine inferiore ad $1$ per $x rarr+infty$;quindi, $ lim_(x -> +infty) F(x)=+infty $
