Salve.
Volevo chiedervi informazioni riguardo la verifica della convergenza in media quadratica di una serie di Fourier (in quanto si trova davvero pochissimo materiale).
Ho letto su una dispensa che basti verificare la seguente uguaglianza:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^{2\pi}S_n(x)dx = \int_0^{2\pi}f(x)dx \)
dove
\(\displaystyle S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)) \)
Il problema è che non so bene come calcolare l'integrale di una sommatoria (e non sono riuscito a trovare esempi).
Come faccio a calcolare ad esempio:
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}{2\over\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}\left((-1)^k\left(\frac{2}{k^2}-\pi^2\right)-\frac{2}{k^2}\right)\sin(kx)dx \)
Sono abbastanza cherto che ci siano dei teoremi o comunque qualche trucchetto che permettano di evitare quel calcolo per quasi tutti gli esercizi dei temi d'esame.