Studio di funzione

[norius]

buongiorno, nel mio appello di analisi I avevo lo studio della seguente funzione:

\( \displaystyle f(x)=ln(\frac{e^{2x}+5e^{x}+4}{e^{x}+3}) \)

la prima domanda era di calcolarne il dominio, quindi:

arg>0 e denominatore <> 0 essendo l'esponenziale sempre positivo abbiamo che il dominio è tutto R.

poi, calcolare i limiti alla frontiera del dominio e nel caso di limite infinito determinarne l'ordine rispetto all'infinito campione standard.

quindi dovrei fare i limiti per x-> +- 00, all'esame per x->+00 avevo fatto de l'hospital sbagliando completamente ma non mi veniva in mente nessun modo per uscire dall'indecisione 0/0 mentre per quanto riguarda x->-00 zero proprio.

da lì in poi chiedeva eventuali asintoti, derivata prima ed eventuali punti di minimi/massimo e specificare se assoluti o relativi.

per quanto riguarda gli asintoti, non essendo riuscito a fare i limiti non potevo farli, la derivata invece era semplice ma lunga (derivata del ln * derivata dell'argomento) e per quanto riguarda i punti di massimo/minimo bastava mettere f'(x)>0 e vedere in che punti cambiava la monotonia, quindi penso che il mio problema siano solo i limiti, qualcuno è in grado di illuminarmi?

Grazie.

[@melia]

Data la funzione
$f(x)=ln((e^(2x)+5e^x+4)/(e^x+3))$

Calcolando i limiti a $+oo$ e $-oo$ ottieni gli asintoti (quasi)
poiché $lim_(x-> -oo) e^x=0$,
$lim_(x-> -oo) f(x)= ln ((0+0+4)/(0+3))= ln(4/3)$ che è un asintoto orizzontale, mentre

$lim_(x-> +oo) f(x)$ questa è una forma indeterminata $oo/oo$, basta raccogliere a numeratore e a denominatore $e^x$, semplificarli e rimane $lim_(x-> +oo) ln((e^x+5+4/e^x)/(1+3/e^x))=+oo$

oppure puoi fare il confronto di infiniti dentro all'argomento del logaritmo, a numeratore l'infinito di ordine superiore è $e^(2x)$, mentre a denominatore è $e^x$, il limite diventa $lim_(x->+oo) ln(e^(2x)/e^x)= lim_(x->+oo) ln(e^x) = lim_(x->+oo) x=+oo$ e con questo modo hai anche che il limite tende a $+oo$ con la stessa potenza del limite campione standard. Questo ci dice che potrebbe esistere l'asintoto obliquo.