Serie - criterio del confronto

[SteveMaster]

Salve avrei un dubbio riguardo il criterio del confronto per le serie.
Leggendo sui libri e in rete, ho letto che per poterlo applicare bisogna avere due serie $\sum_{k=1}^N an$ e $\sum_{k=1}^N bn$ tale che $an <= bn $ e poi fare le diverse ipotesi..

Però ho trovato in rete alcuni esercizi (molti esercizi), dove non viene applicato il criterio anche con $an >= bn $..come possibile?

tipo per la serie $\sum_{n=1}^infty 1/(n+1)$ che viene confrontata con $1/(2n)$, ovvero $\sum_{n=1}^infty 1/(n+1) > 1/(2n) = (1/2)(1/n) $, dove risulta $bn= 1/(2n)$ la nostra serie di confronto che è MAGGIORE DI $an$ e non minore come è richiesto dal criterio..

cosa mi sfugge?

[alessandro8]

Ciao.

Il criterio del confronto relativo alle serie si applica cercando una serie maggiorante o minorante rispetto ad una serie data a seconda del fatto che si voglia provare la convergenza o la divergenza della serie data stessa.

Data una serie, se si trova un'altra serie che maggiora quella data e se si dimostra che la serie maggiorante è convergente, allora si dimostra la convergenza della serie data.

Invece la serie minorante viene, di solito, considerata quando si vuol tentare di dimostrare la divergenza della serie data; infatti, qualora si trovasse una serie minorante (della serie data) sicuramente divergente, si otterrebbe, automaticamente, la divergenza della serie data.

Nell'esempio in questione

$ \sum_{n=1}^infty 1/(n+1) $

si trova una serie minorante data da

$ \sum_{n=1}^infty 1/(2n) $

sicuramente divergente, per cui la serie data risulta essere anch'essa divergente.

Spero di essere stato chiaro.

Saluti.

[SteveMaster]

grazie della risposta
però se un esercizio in generale ci dice di studiare il carattere di una serie, quindi non di verificare se converge o diverge, diventa difficile capire quale confronto effettuare...tranne in cosi semplici come quello da me postato che è abbastanza evidente la serie armonica.

[alessandro8]

Ciao.

Il criterio del confronto è solo uno dei vari criteri per studiare il carattere di una serie, ma ve ne sono diversi altri, tra i quali quello della radice e del rapporto.

Naturalmente prima di tutto va verificata la condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza di una serie; tale condizione prevede che il termine generale della serie stessa tenda a zero.

Saluti.