Buongiorno vi scrivo per avere un confronto riguardo un esercizio che mi è capitato all'esame di analisi 2, il testo è il seguente:
Sia $ Sigma = {(x,y,z) in R^3 : z = 1/4 sqrt(x^2 + y^2) - 1/4 , 0<=z<=1/2} $
Calcolare il flusso del rotore del campo
$ F(x,y,z) = e^(x^2 +y^2) (2yz,3z,1/2 x +z) $
attraverso $ Sigma $, orientata in modo che la normale formi un angolo ottuso con l'asse z.
(la soluzione è $ 9pi e^9 $ )
Io ho provato a risolverlo in 3 modi:
1 modo:
Ho utilizzato la relazione $ int int_()^() rotF(sigma (x,y))*N(x,y) dx dy $
Ho calcolato il rotore
$ rotF = e^(x^2 + y^2) (yx+2zy-3,2y- (2x^2 + 4xz + 1)/2 , 6xz - 4y^2 z-2z) $
Ho preso il vettore $ sigma = (x,y,g(x,y)) $ in questo modo
$ sigma = (x,y,1/4 sqrt(x^2+y^2) -1/4) $
Ho calcolato il vettore normale $ N = (-(partialg)/(partial x),-(partialg)/(partial y),1) $
$ N = (- x / (4 * sqrt(x^2 + y^2)) , - y / (4*sqrt(x^2+y^2)),1) $
siccome mi chiede che la normale formi un angolo ottuso prendo il vettore $ N1 = - N $
a questo punto ho iniziato a sostituire nel rotF il vettore $ sigma $ per poi moltiplicarlo per N, ma arrivato a questo punto mi sono ritrovato calcoli molto lunghi che mi richiedevano troppo tempo per consegnare in tempo, allora sono passato ad un altro modo
2 modo:
dal teorema di Stokes io considero il bordo della superficie e calcolo la circuitazione , di seguito metto il mio svolgimento che mi ha creato diversi dubbi:
dalla superficie data ottengo che per $ z = 1/2 $ l'intersezione è una circonferenza di raggio 3
parametrizzo la curva in questo modo
$ gamma (t) = (3 cost,3sint, 1/2) $
calcolo la derivata
$ gamma' (t) = (-3 sint,3cost, 0) $
Poi ho inserito $ gamma $ in F e ho moltiplicato per $ gamma' $ ottenendo
$ F(gamma(t))*(gamma'(t)) = -9e^9 sin^2 t + 9/2 e^9 cost $
Ho integrato tutto in t considerando che t varia da $ [0,2pi ] $
$ int_(0)^(2pi )(-9e^9 sin^2 t + 9/2 e^9 cost)dt $
Alla fine ho ottenuto come risultato $ -9pie^9 $
3 modo:
ho applicato il teorema della divergenza, calcolando divF e sviluppando l'integrale triplo, ottenendo un risultato che discosta molto da quello della consegna.
I miei dubbi sono i seguenti:
Nel primo modo in cui l'ho risolto ho impostato nel modo corretto l'esercizio oppure ho sbagliato qualcosa strada facendo?
Nel secondo modo io ho utilizzato la circonferenza di raggio 3, ma utilizzando $ z = 0 $ si ha anche una circonferenza di raggio 1, ottengo il risultato cambiato di segno, però non dovrei considerare tutti e 2 i percorsi?
Nel terzo metodo concettualmente è giusto utilizzare il teorema della divergenza magari con opportune modifiche? chiedo scusa se non ho messo i calcoli ma non volevo appesantire il messaggio, eventualmente li metto successivamente.
Volevo ancora chiedere una cosa, come faccio a capire negli esercizi, dove richiesto, quando il vettore normale formi un angolo ottuso o acuto con un asse particolare oppure per esempio in modo che punti verso il centro? Da alcuni esercizi fatti ho visto che spesso viene preso il vettore opposto, in modo da avere la componente dell'asse richiesto positiva o negativa. C'è un modo per capire se il vettore che ho calcolato formi un angolo acuto/ottuso e che punti verso l'interno/esterno?
Vi ringrazio molto!