Flusso del rotore del campo

Messaggioda Gio_bass88 » 31/07/2015, 17:10

Buongiorno vi scrivo per avere un confronto riguardo un esercizio che mi è capitato all'esame di analisi 2, il testo è il seguente:

Sia $ Sigma = {(x,y,z) in R^3 : z = 1/4 sqrt(x^2 + y^2) - 1/4 , 0<=z<=1/2} $
Calcolare il flusso del rotore del campo
$ F(x,y,z) = e^(x^2 +y^2) (2yz,3z,1/2 x +z) $
attraverso $ Sigma $, orientata in modo che la normale formi un angolo ottuso con l'asse z.
(la soluzione è $ 9pi e^9 $ )

Io ho provato a risolverlo in 3 modi:

1 modo:
Ho utilizzato la relazione $ int int_()^() rotF(sigma (x,y))*N(x,y) dx dy $
Ho calcolato il rotore
$ rotF = e^(x^2 + y^2) (yx+2zy-3,2y- (2x^2 + 4xz + 1)/2 , 6xz - 4y^2 z-2z) $
Ho preso il vettore $ sigma = (x,y,g(x,y)) $ in questo modo
$ sigma = (x,y,1/4 sqrt(x^2+y^2) -1/4) $
Ho calcolato il vettore normale $ N = (-(partialg)/(partial x),-(partialg)/(partial y),1) $
$ N = (- x / (4 * sqrt(x^2 + y^2)) , - y / (4*sqrt(x^2+y^2)),1) $
siccome mi chiede che la normale formi un angolo ottuso prendo il vettore $ N1 = - N $
a questo punto ho iniziato a sostituire nel rotF il vettore $ sigma $ per poi moltiplicarlo per N, ma arrivato a questo punto mi sono ritrovato calcoli molto lunghi che mi richiedevano troppo tempo per consegnare in tempo, allora sono passato ad un altro modo

2 modo:

dal teorema di Stokes io considero il bordo della superficie e calcolo la circuitazione , di seguito metto il mio svolgimento che mi ha creato diversi dubbi:
dalla superficie data ottengo che per $ z = 1/2 $ l'intersezione è una circonferenza di raggio 3
parametrizzo la curva in questo modo
$ gamma (t) = (3 cost,3sint, 1/2) $
calcolo la derivata
$ gamma' (t) = (-3 sint,3cost, 0) $
Poi ho inserito $ gamma $ in F e ho moltiplicato per $ gamma' $ ottenendo
$ F(gamma(t))*(gamma'(t)) = -9e^9 sin^2 t + 9/2 e^9 cost $
Ho integrato tutto in t considerando che t varia da $ [0,2pi ] $
$ int_(0)^(2pi )(-9e^9 sin^2 t + 9/2 e^9 cost)dt $
Alla fine ho ottenuto come risultato $ -9pie^9 $

3 modo:
ho applicato il teorema della divergenza, calcolando divF e sviluppando l'integrale triplo, ottenendo un risultato che discosta molto da quello della consegna.


I miei dubbi sono i seguenti:
Nel primo modo in cui l'ho risolto ho impostato nel modo corretto l'esercizio oppure ho sbagliato qualcosa strada facendo?

Nel secondo modo io ho utilizzato la circonferenza di raggio 3, ma utilizzando $ z = 0 $ si ha anche una circonferenza di raggio 1, ottengo il risultato cambiato di segno, però non dovrei considerare tutti e 2 i percorsi?

Nel terzo metodo concettualmente è giusto utilizzare il teorema della divergenza magari con opportune modifiche? chiedo scusa se non ho messo i calcoli ma non volevo appesantire il messaggio, eventualmente li metto successivamente.

Volevo ancora chiedere una cosa, come faccio a capire negli esercizi, dove richiesto, quando il vettore normale formi un angolo ottuso o acuto con un asse particolare oppure per esempio in modo che punti verso il centro? Da alcuni esercizi fatti ho visto che spesso viene preso il vettore opposto, in modo da avere la componente dell'asse richiesto positiva o negativa. C'è un modo per capire se il vettore che ho calcolato formi un angolo acuto/ottuso e che punti verso l'interno/esterno?


Vi ringrazio molto!
Gio_bass88
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Re: Flusso del rotore del campo

Messaggioda Gio_bass88 » 31/07/2015, 19:41

Grazie mille per l'aiuto!! :D :D
Adesso provo a rifarlo bene per consolidare quanto mi hai spiegato, poi ne avevo lasciati alcuni molto simili a questo che mi davano questi problemi ma ora voglio provare a farli tutti e vedere quale percorso mi conviene.

Ps ho un problema di natura "tecnica" con il forum: quando apro il messaggio di risposta, leggo la tua nota sul verso della normale (la 2), ma solo quando faccio per rispondere al messaggio, nel riquadro sotto mi compare un pezzo in più del messaggio in cui mi spieghi passo per passo cosa ho sbagliato (la nota 1). Può essere per il fatto che magari il messaggio è tanto lungo?

Riguardando bene non mi è chiaro al 100% il passaggio finale del teorema della divergenza: in pratica la divergenza del rotore so che è nulla, quindi ponendo la relazione = 0 io ricavo il flusso del rotore attraverso la superficie calcolando il flusso del rotore attraverso la superficie circolare superiore e quella inferiore giusto?

Grazie ancora di tutto!! Buona serata!
Gio_bass88
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Re: Flusso del rotore del campo

Messaggioda Gio_bass88 » 31/07/2015, 20:14

Ora mi metto all'opera e rifaccio tutto bene! :D :D

Eventualmente dovessi avere un problema con un altro esercizio del flusso del rotore scrivo di seguito nel messaggio o apro una nuova discussione?

Grazie ancora!!! :smt023
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Re: Flusso del rotore del campo

Messaggioda Gio_bass88 » 10/09/2015, 21:19

Buonasera TeM ti scrivo di nuovo perchè ho provato a rifare l'esercizio qui sopra, tutto bene ma il risultato mi viene sempre con segno opposto...e non riesco a capire cosa sbaglio del mio ragionamento, ora provo a spiegarmi e vedere cosa sbaglio, molto probabilmente mi sono "imposto" una condizione che non deve essere così:

innanzitutto mi faccio il disegno del solido, metto l'asse z verso l'alto, l'asse y verso destra e l'asse x inclinato verso sinistra in basso in modo da disegnarmi la figura "3D"
Quindi vedo che ho un cono tagliato sotto dal piano $ z = 0 $ e sopra dal piano $ z = 1/2 $

Poi io faccio il ragionamento seguente: guardo da sopra e vedo la base superiore, il cerchio di raggio 3, quindi riportandolo in un piano cartesiano classico con la y verso l'alto e la x verso destra io percorro la circonferenza in senso ANTIORARIO per avere la superficie a sinistra.
Dopodichè guardo da "sotto" la base inferiore e riportandola su un piano mi trovo la x orientata nell'altro senso, quindi percorro questa volta la circonferenza in senso ORARIO.

Chiamo con $ gamma1 $ la parametrizzazione della base superiore, mentre chiamo con $ gamma2 $ la parametrizzazione della base inferiore, quindi mettendo tutto in una relazione scrivo così:

$ Phi (RotF) = int_(0)^(2pi) F(gamma1)*gamma1' dP + int_(2pi)^(0) F(gamma2)*gamma2'dp $ in sostanza considero il primo integrale senza cambiarlo di segno, mentre cambio di segno il secondo. Da come è strutturato l'esercizio, il secondo integrale comunque si annulla, quindi rimane il problema che io percorro al contrario la curva e quindi ottengo il risultato opposto.....
Gio_bass88
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Re: Flusso del rotore del campo

Messaggioda Gio_bass88 » 16/09/2015, 11:23

Buongiorno TeM grazie mille, ora si che torna tutto!! :D :D io sbagliavo proprio perchè consideravo i bordi dei "tappi" quindi a volte mi venivano risultati di segno opposto!
Grazie ancora!! :smt023
Gio_bass88
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