proprietà del sup

[stelladinatale]

Se ho una famiglia di funzioni $\{f(x,t)\}_{x\in A}$ dove $A$ è un insieme qualsiasi....
posso scrivere
$\text{sup}_x \int_0^t f(x,s)ds\leq\int_0^t \text{sup}_x f(x,s)ds$?
Ho un problema di integrabilità forse?

[Luca.Lussardi]

mi pare ovvia, $text{sup}_xf(x,s)\ge f(x,s)$ per ogni $x$, integri e riprendi il sup su $x$ membro a membro

[stelladinatale]

Si, sono d'accordo... mi chiedevo però potrei avere un problema di integralità?
Cioè il sup di funzioni integrabili è ancora integrabile?

[Luca.Lussardi]

e' misurabile, quello basta per fare l'integrale (di lebsegue)

[DajeForte]

Ma in realtà, al variare di A, la misurabilità può fallire.
Ad esempio, se consideri $f(x,s) = I_{x}(s), quad s in [0,1]$ e prendi $A sube [0,1]$ un insieme non misurabile,
hai che $"sup"_x f = I_A$.

[Luca.Lussardi]

beh questi sono casi patologici, davo un po' per scontato che uno avesse almeno la misurabilita' di $A$, quella disuguaglianza e' molto utile nelle applicazioni

[DajeForte]

Concordo che sono casi patologici. Però vedendo la domanda/messaggio del op, la questione verte proprio su questo e se uno esclude questi casi la domanda stessa viene meno (ammesso poi che si parli di integrale di Lebesgue).
Comunque, cosi ad occhio, anche se A è misurabile si può arrivare alla non misurabilità del sup

[Luca.Lussardi]

se la famiglia e' piu' che numerabile credo di si

[stelladinatale]

Grazie a entrambi per la risposta!
Nel caso che sto considerando io l'integrale è di lebesgue, mentre l'insieme $A=\mathbb{Z}^2$ quindi è numerabile... a questo punto mi chiedo però se è misurabile...

[_fabricius_]

Se stai considerando la misura di Lebesgue su $RR^2$ allora tutti gl'insiemi numerabili sono misurabili (e di misura nulla).