Limite di successione

[FM93]

Buona sera a tutti,
ho qualche problema nello svolgimento del seguente limite di successione:

\( \lim_{n\to \propto}\frac{n\;(2^\frac{senn}{n}-1)\;log(\frac{n^2+5n}{n^2+5n-1})}{\sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}-1}} \)

SVOLGIMENTO

\( \lim_{n\to \propto}log(\frac{n^2+5n}{n^2+5n-1}) \) converge a zero e inoltre, applicando il limite notevole \( \lim_{n\to \propto}\frac{a^{a_{n}}-1}{a^{a_{n}}}=lna \) , si ottiene

\( \lim_{n\to \propto}\frac{n\;ln2\;\frac{senn}{n}\;*0}{\frac{1}{n}}=0*\lim_{n\to \propto}\frac{n}{\frac{1}{n}}=0\;*\propto \) che è una forma indeterminata.

Help

[dan95]

$\frac{n(2^{\frac{\sin n}{n}}-1)\ln(\frac{n^2+5n-1+1}{n^2+5n-1})}{\sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}-1}}=n^2(2^{\frac{\sin n}{n}}-1)\ln(\frac{n^2+5n-1+1}{n^2+5n-1})=(2^{\frac{\sin n}{n}}-1)\ln(1+\frac{1}{n^2+5n-1})^{n^2}$...

[FM93]

Grazie per avere risposto ma ho un ulteriore dubbio:

$\ln(1+\frac{1}{n^2+5n-1})^{n^2} $

A quale numero converge?
In questo caso il logaritmo ha come argomento una successione esponenziale del tipo \( a_{n}^{\;{b_{n}}} \) .
Essendo \( a_{n} \) convergente a 1 non si ha \( log 1^\propto \) che è una forma indeterminata ?

[dan95]

Converge a 1 perché $(1+\frac{1}{n^2+5n-1})^{n^2} \rightarrow e$
C'è un teorema che dice:
Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni (entrambe divergenti) tali che $a_n ~ b_n$ allora $(1+1/a_n)^{b_n} \rightarrow e$

[FM93]

Onestamente non lo conosco comunque ti prendo in parola
Grazie mille

[dan95]

È un corollario del teorema ponte mi pare, comunque con qualche confronto lo verichi lo stesso quel limite
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