carattere di una serie

[Meringolo]

studiare al variare del parametro $alpha > -1, alpha !=0$ il carattere della serie
$sum_(n=1)^infty(log_(alpha+1)(n^2+3n+2)/(2n+3)^(alpha-3))$
la traccia consiglia di fare nell'ordine: cambiamento di base dei logaritmi, criterio del confronto, criterio di condensazione.

[Meringolo]

Allora, comincio con scrivermi la serie usando il cambiamento di base dei logaritmi:

$sum_(n=1)^infty(log_e(n^2+3n+2)/(log_e(alpha+1))*(1/(2n+3))^(alpha-3))$

[Meringolo]

e poi non so come continuare

[Meringolo]

Intanto dico che $1/((2n+3)^(alpha-3))~~1/(n^(alpha-3))$

La serie armonica diverge se $(alpha-3)<=1 iff alpha<=4$

e il primo termine diverge pure essendo $~~log(n^2)/cost$

Mi resta da vedere per $alpha>4$

[dan95]

Cambiamento base: fatto
Criterio del confrontoconfronto:
$\ln(n^2)(\frac{1}{3n})^{alpha-3} \leq\ln(n^2+3n+2)(\frac{1}{2n+3})^{alpha-3} \leq \ln(2n^2)(\frac{1}{2n})^{alpha-3} $
Criterio di condensazione:
Prova...

[Meringolo]

il criterio di condensazione dice che una serie $sum a_n$ ha lo stesso carattere di $sum 2^n a_(2^(n))$

Quindi moltiplicando per $2^n$ e sotituendo ogni $n$ con $2^n$ ho

$1/(log_e (alpha+1))*sum 2^n*log((2^n)^2+3*(2^n)+2)*(1/(2*(2^n)+3))^(alpha-3)$

Trascuro il termine fuori sommatoria perchè costante, e lo scrivo come

$ sum log(2^(2n)+3*2^n+2)*(2^n/(2*2^n+3))^(alpha-3)$

[dan95]

No l'idea è applicarlo alle serie con cui ho maggiorato e minorato

[Meringolo]

Allora immagino bisogna arrivare ai carabinieri...

Quindi, usando il criterio di condensazione:

$sum2^n*log(2^n)^2(1/(3*2^n))^(alpha-3)<=sumlog(n^2+3n+2)(1/(2n+3))^(alpha-3)<=sum log(2*(2^n)^2)(1/(2*2^n))^(alpha-3)$

Usando qualche proprietà dei logaritmi

$log 2 sum2n*2^n(1/(3*2^n))^(alpha-3)<=sumlog(n^2+3n+2)(1/(2n+3))^(alpha-3)<=log 2 sum (2n+2)2^n*(1/(2^(n+1)))^(alpha-3)$

[Meringolo]

per $alpha=4$ ho che le due serie esterne divergono, essendo

$sum (2n*2^n)/(3*2^n)<=......<=sum ((2n+2)2^n)/(2^n*2)$

$= sum (2n)/3<=......<=sum (n+1)$

[Meringolo]

Allora, la serie data, tramite il cambiamento di base dei logaritmi diventa:

$sum_(n=1)^inftylog_e(n^2+3n+2)/(2n+3)^(alpha-3)$ a meno di una costante che possiamo trascurare.

Per il primcipio di sostituzione degli ordini di infinitesimi, la serie è circa

$~~sum_(n=1)^infty log(n^2)/n^(alpha-3)$

Applico il criterio di condensazione

$=sum_(k=1)^infty 2^k log(2^(2k))/2^(k(alpha-3))$

$= sum_(k=1)^infty k2^k log(2)/2^(alpha k - 3 k)$

$~~ sum_(k=1)^infty (k2^k) /2^(alpha k - 3 k)$

$= sum_(k=1)^infty k2^(k(4-alpha) )$

e questa converge non appena $alpha>4$ in quanto

$sum_(k=1)^infty k/2^(betak)$ converge per $beta>0$

Allora la serie diverge per $alpha<=4$ e converge per $alpha >4$