Trovare la serie di Fourier a partire da una funzione f

[Doroddo]

Ho la funzione $f(x) = 2/3 abs(x)$, $2\pi$-periodica, pari e definita in $[-\pi, 0]$. Devo trovare la serie di Fourier di $f$.
Utilizzo la formula: $a_0/2 + \sum_{k=1}^(infty) (a_k cos(kx) + b_k sen(kx))$ dove devo trovare opportunamente $a_0$, $a_k$ e $b_k$.
So che $f$ è una funzione pari perciò $f(x) cos(kx)$ è pari, mentre $f(x) sen(kx)$ è dispari.
A questo punto imposto i 3 integrali per trovare i coefficienti:
1) $a_0 = 2/\pi \int_{0}^{pi} f(x) dx$
2) $a_k = 2/\pi \int_{0}^{pi} f(x) cos(kx) dx$
3) $b_k = 1/\pi \int_{-pi}^{pi} f(x)sen(kx) dx$

$a_0$ sarà uguale a $2/3 \pi$ sapendo che nella funzione, per l'intervallo di quest'integrale, $abs(x) = x$.
Ho problemi a risolvere gli integrali per trovare i restanti due coefficienti.
Per $a_k$ ho il seguente integrale: $2/\pi \int_{0}^{pi} 2/3 x cos(kx) dx => 4/(3 \pi k) \int_{0}^{pi} k cos(kx) x dx$ che integrando per parti prendendo $f = x$ e $g' = k cos(kx)$ diventa
$4/(3 pi k) ([x sen(kx)] - 1/k \int_{0}^{pi} k sen(kx) dx) => 4/(3 pi k) (x sen(kx) + 1/k cos(kx))$ dove ciò che è tra parentesi viene calcolato tra $0$ e $pi$.
Ora come proseguo? C'è quel $k$ nel seno e nel coseno che non mi permette di avere un risultato ben definito delle funzioni in questione. Ho guardato alcuni esempi del professore e vedo che ramifica l'esercizio in 2 casi a seconda che $k$ sia pari o dispari, qualcuno sa aiutarmi?

[@melia]

Se sostituisci gli estremi di integrazioni ti accorgi subito del senso che devi dare al $k$:
$cos kpi$ con $k in ZZ$ vale $1$ per $k$ pari e $-1$ per $k$ dispari, il $sin k pi=0$ per ogni $k in ZZ$

[Doroddo]

Dunque a questo punto proseguo ramificando l'integrale in due casi a seconda che $k$ sia pari o meno ottenendo due valori distinti dell'integrale?

[@melia]

Sì

[Doroddo]

Grazie per l'aiuto! Ho risolto e mi torna:
$a_k={(0,se\ text{k è pari}),(-8/(3 pi k^2),se\ text{k è dispari}):}$
$b_k = 0$
$a_0 = 2/3 pi$
Finisco di svolgere l'esercizio per completezza (non si sa mai che qualcuno in futuro capiti in questo topic )
Utilizzando la formula $a_0/2 + \sum_{k=1}^(infty) (a_k cos(kx) + b_k sen(kx))$ posso tralasciare il caso in cui $k$ sia pari perché sia $a_k$ che $b_k$ sono nulli e dentro la sommatoria rimane semplicemente $0$.
Nel caso in cui invece $k$ sia dispari ottengo:
$1/3 pi + \sum_{k=1}^(infty) (-8/(3 pi (2k-1)^2) cos((2k -1)x))$
Nella serie ho espresso $k$ come $2k - 1$ per "sottointendere" sia dispari.
(Chiedo conferma dei miei ragionamenti per sicurezza)

[@melia]

Mi quadra tutto. Per chiarezza devo dirti che non ricordo come si ottengono le serie di Fourier, tutto quello che ti ho spiegato è relativo al calcolo goniometrico.