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Problema. (Concorso di ammissione SNS, IV anno) Sia $p\in [1, \+infty)$ e sia $\mathcal R^p(0,1)$ lo spazio delle funzioni Riemann integrabili aventi potenza $p$-esima integrabile. Per $p=\infty$ si denoti con $\mathcal R^{\infty}(0,1)$ lo spazio delle funzioni Riemann integrabili in $(0,1)$ e limitate.
Sia $f: \RR \to \RR$ 1-periodica e supponiamo esista un $p \in [1,+\infty]$ tale che $f \in \mathcal R^{p}(0,1)$. Posto $f_{\varepsilon}(x)=f(x/\varepsilon)$, si mostri che
\[
\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \int_0^1 f_{\varepsilon}g dt = \int_0^1 f dt \int_0^1f dt, \qquad \forall g \in \mathcal{R}^{q}(0,1)
\]
dove $q=\frac{p}{p-1}$ se $p>1$ e $q=\infty$ se $p=1$.


Alcuni commenti: francamente, non so da dove cominciare. Anzitutto, preciso che il testo è stato ricopiato fedelmente. Guardo la tesi e mi pare molto strana: possibile che il secondo membro sia indipendente da $g$? E poi perché non hanno scritto
\[
\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \int_0^1 f_{\varepsilon}g dt = \left( \int_0^1 f dt\right)^2
\]

Ancora, non ho mai incontrato la notazione $\varepsilon \downarrow 0$: immagino che significhi che $\varepsilon$ tende a zero decrescendo, giusto?

Mi date un'idea per piacere? Sulle prime pensavo di dover utilizzare risultati tipo convergenza dominata-monotona, ma siamo nello spazio delle Riemann integrabili... Peraltro, $q$ è l'esponente coniugato di $p$, quindi ho pensato alla disuguaglianza di Holder ma non so come utilizzarla. Sono veramente perplesso.

Grazie in anticipo.

Chiaramente a secondo membro uno degli integrali è \(\int g\).
La notazione \(\epsilon\downarrow 0\) significa quello che pensi, cioè \(\epsilon\to 0^+\).
La richiesta \(f\in \mathcal{R}^p\), \(g\in \mathcal{R}^q\) serve a fare in modo che \(fg\in\mathcal{R}^1\) e anche \(f_{\epsilon}g\in\mathcal{R}^1\); in tal modo sono integrabili tutte le funzioni che compaiono.

Detto questo, penso tu possa cominciare a procedere supponendo che \(g\) sia la funzione caratteristica di un intervallo \([a,b]\subset [0,1]\) (non so se è il metodo più rapido, comunque male non fa...).

Si, confermo quanto detto da Rigel, ho fatto un po' di conti ma veloci. Mi pare che la sommabilità chiesta serva perché ad un certo punto devi usare la convergenza dominata e Hoelder te lo permette. Per il passaggio al limite invece io ho messo prima di tutto il caso $\varepsilon=1/k$, con $k$ intero positivo. Fai subito la sostituzione $kx=t$ e ti ritrovi con un integrale su $[0,k]$: questo integrale lo rispezzi come somma degli integrali tra $[0,1]$, $[1,2]$ ecc... e poi dal secondo in poi trasli la variabile in modo da riaverli tutti in $[0,1]$ (qui usi la 1-periodicità di $f$). Magicamente dovresti ritrovarti una somma di Riemann che al limite ti darà l'integrale di $g$ su $[0,1]$.

Anzitutto vi ringrazio molto per le risposte e per i chiarimenti. Appurato l'errore di stampa (piuttosto grave, secondo me), ho ragionato un po' seguendo i vostri consigli ma ho ancora qualche dubbio che vi sottopongo.

In primis, $f \in \mathcal R^p$ e $g \in R^q$ implica $fg \in \mathcal{R}^1$: posso dire che ciò segue subito da Holder? Oppure lo devo dimostrare in qualche altro modo? Il mio dubbio è che la disuguaglianza di Holder valga solo negli spazi $L^p$...
Ovviamente, se $f \in \mathcal{R}^p$ allora anche $f_{\varepsilon} \in \mathcal{R}^p$ e quindi (di nuovo per Holder) anche $f_{\varepsilon}g \in \mathcal R^p$.

Vengo ora al problema vero e proprio: Luca ho fatto i conti che mi hai indicato e mi torna tutto: se $\varepsilon = \frac{1}{n}$ ho
\[
\begin{split}
\int_0^1 f_{\varepsilon}(x)g(x)dx & = \frac{1}{n} \int_0^n f(t)g\left(\frac{t}{n}\right) dt = \\
& = \frac{1}{n} \int_0^1 f(t)\left[ g\left(\frac{t}{n}\right) + g\left(\frac{t+1}{n}\right) + \ldots + g\left(\frac{t+n-1}{n}\right) \right] dt.
\end{split}
\]
Riconosciamo che il pezzo \( \displaystyle \frac{1}{n}\left[ g\left(\frac{t}{n}\right)+ g\left(\frac{t+1}{n}\right) + \ldots + g\left(\frac{t+n-1}{n}\right)\right] \) è proprio una somma di Riemann e quindi, siccome $g$ è Riemann-integrabile, quando $n \to +\infty$ ottengo proprio
\[
\frac{1}{n}\left[ g\left(\frac{t}{n}\right)+ g\left(\frac{t+1}{n}\right) + \ldots + g\left(\frac{t+n-1}{n}\right)\right] \to \int_0^1 g dt
\]

Le domande ora sono due:
1) come si usa la convergenza dominata? Dovrei dimostrare che la successione
\[
G_n(t)=\frac{1}{n}\left[ g\left(\frac{t}{n}\right)+ g\left(\frac{t+1}{n}\right) + \ldots + g\left(\frac{t+n-1}{n}\right)\right]
\]
è limitata, giusto? Questo teorema però non è specifico per l'integrale di Lebesgue?

2) Tutto funziona magicamente, a patto di prendere $\varepsilon=\frac{1}{k}$, $k$ naturale non nullo. Ho come il sospetto, però, che questo non basti: devo far vedere che il limite vale per tutte le successioni che tendono a 0 decrescendo, giusto? E come si può fare?

Vi ringrazio ancora per il vostro aiuto.

Per la 1 effettivamente va pensato un po' e dipende anche da come fai la 2, ma per la 2 credo che puoi partire allo stesso modo, ma arrivi ad un integrale in $[0,1/\varepsilon]$, qui forse basta arrestarsi alla parte intera di $1/\varepsilon$ e dimostrare che il resto va a zero? Forse Hoelder ti serve anche qua...

Per la parte 2, sì, forse si può fare allo stesso modo perché $f_{\varepsilon}$ è $\varepsilon$ periodica: infatti $f_{\varepsilon}(x+\varepsilon)=f(x/\varepsilon+1) = f(x/\varepsilon)=f_{\varepsilon}(x)$. Possiamo supporre $\varepsilon<1$ cosicché $\frac{1}{\varepsilon}>1>\varepsilon$: quindi spezziamo l'integrale da 0 a $\frac{1}{\varepsilon}$ nella somma di integrali tra $0$ e $\varepsilon$ e poi usiamo la periodicità. Certo l'ultimo integrale è un po' brutto da scrivere, ci sarà di mezzo la parte intera, come giustamente dici tu.

Comunque ho provato anche a trattare il caso con ipotesi di regolarità più forti ($f,g$ continue o derivabili) ma non ho concluso nulla lo stesso. Sembra proprio tosto...

Grazie per l'aiuto.

Non è facile che l'ultimo vada a zero? entrambi gli estremi vanno all'infinito, non riesci a maggiorare dall'alto? Secondo me il punto più delicato è quello relativo alle somme di Riemann, visto che non sono esattamente di Riemann (Riemann vorrebbe inf e sup sulla suddivisione), quindi li' va un po' sistemata quella convergenza, ma che è una proprietà solo di $g$.

Ripropongo l'approccio del mio primo post.
Posto \(f_0 := \int_0^1 f\), se \(g = \chi_{[a,b]}\) è la funzione caratteristica di un intervallo si dim. che
\[
\int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) g =
\epsilon \int_{a/\epsilon}^{b/\epsilon} [f(y) - f_0] dy =
\epsilon \cdot \{\text{resti al primo e ultimo intervallino}\} \to 0.
\]
Ho scritto rapidamente, ma il significato è questo: l'intervallo \([a/\epsilon, b/\epsilon]\) viene suddiviso in intervalli di ampiezza unitaria a coord. intere, a parte il frammento iniziale e quello finale (i resti).

A questo punto, se \(0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\) e \(g = \sum_{j=1}^n g_j \chi_{[t_{j-1}, t_j]}\), avremo ancora
\[
\lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) g = 0.
\]
Da qui si dovrebbe concludere senza troppe difficoltà.

Rigel, come al solito, hai ragione. L'idea della funzione caratteristica mi sa che è quella giusta e permette di concludere molto velocemente. Solo una domanda (che poi è quella che mi poneva Luca nel suo post precedente): i resti non danno fastidio? Insomma, il fatto che ci sia quell'$\epsilon$ davanti ci salva? Se non sbaglio il resto al primo intervallo è
\[
\int_{\frac{a}{\varepsilon}}^{\left\lceil\frac{a}{\varepsilon}\right\rceil} (f_{\varepsilon}-f_0)g
\]

Come diceva Luca, entrambi gli estremi di integrazione vanno a $+\infty$ quando $\varepsilon\to0^+$. Però non abbiamo informazioni sull'integrabilità del'integrando a $+\infty$, sappiamo solo che è tutto integrabile su $[0,1]$ (forse la periodicità ci salva? Non credo, il seno si integra benissimo su $[0,2\pi]$ ma non è integrabile a $+\infty$).

In ogni caso, hai provato la tesi per funzioni a scala. Immagino che ciò sia sufficiente per ragioni di densità, no? Le funzioni a scala costituisono un sottoinsieme denso delle Riemann integrabili, perché possiamo approssimare "bene quanto vogliamo" una qualunque funzione $g$ (integrabile secondo Riemann) con una successione di funzioni a scala.
E' corretta questa mia affermazione (ammetto di essermi lanciato un po')?

Ancora molte grazie per il vostro preziosissimo aiuto.

Per quanto riguarda i resti, usando la periodicità di riconduci sempre a un integrale del tipo \(\int_0^r (f_{\epsilon}-f_0)\) oppure \(\int_r^1 (f_{\epsilon}-f_0)\); in entrambi i casi maggiori con \(2\int_0^1 |f|\). Grazie all'\(\epsilon\) che hai davanti, questi resti vanno a \(0\).

Per l'approssimazione, vediamo il caso semplice \(f\in\mathcal{R}^1\), \(g\in\mathcal{R}^{\infty}\) (penso che in qualche modo si possano poi trattare gli altri).
Se \(h\) è una funzione a scala, con \(\|h\|_{\infty} \leq \|g\|_{\infty}\), usando una stima simile a quella del precedente post si dovrebbe avere
\[
\left|\int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) h\right| \leq 2\epsilon \|f\|_1 \|g\|_{\infty}.
\]
Di conseguenza
\[
\left|\int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) g\right| =
\sup \left\{\left|\int_0^1 (f_{\epsilon} - f_0) h\right|:\ h\ \text{a scala}, \|h\|_{\infty} \leq \|g\|_{\infty}\right\}
\leq 2\epsilon \|f\|_1 \|g\|_{\infty}
\]
Adesso basta mandare \(\epsilon\downarrow 0\).