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Problema (ancora concorso di ammissione SISSA: prima o poi la smetto, lo prometto!). Sia $f:\RR^2 \to \RR$ di classe $C^1$ con la seguente proprietà: esiste $C \in [0;+\infty)$ tale che per ogni $(t, x) \in \RR^2$
\[
\left\vert \frac{\partial f}{\partial x} (t,x) \right\vert \le C
\]
Si supponga inoltre che ogni soluzione dell'equazione differenziale ordinaria $\dot{x}=f(t, x)$ sia periodica con lo stesso periodo $T > 0$. Si dimostri allora che, per ogni $x \in \RR$ fissato, la funzione $t\mapsto g_x(t):= f(t,x)$ è periodica con lo stesso periodo $T$.

La domanda questa volta riguarda il testo dell'esercizio: mi sta chiedendo di dimostrare che la derivata di una funzione periodica è ancora periodica?

Voglio dire: l'esistenza in grande segue subito dalla limitatezza della derivata prima rispetto a $x$ (che, come sappiamo, è sufficiente per la sublinearità). Ora per ipotesi $x(t+T)=x(t)$ per ogni $t$. Quindi
\[
g_x(t+T)=\dot{x}(t+T) = \lim_{h \to 0}\frac{x(t+T+h)-x(t+T)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x(t+h)-x(t)}{h}=\dot{x}(t)=g_x(t)
\]
che è la tesi.

Ma è giusto? Ho capito bene il testo? Mi sembra di averla fatta troppo semplice... grazie.

La funzione \(g_x\) è la restrizione di \(f\) a \(x\) fissato, invece \(\dot{x}(t) = f(t, x(t)) = g_{x(t)}(t)\).

Che roba ! Scusami, ho completamente travisato il testo, menomale che ho postato. Sarà che comincio ad essere proprio un po' stanco...

Ad ogni modo, ti ringrazio per il chiarimento. Hai qualche idea? Io purtroppo no... Non mi viene in mente nulla di furbo.

Pensaci un attimo, l'esercizio è abbastanza semplice.
Devi dimostrare che, per ogni \((\tau, x_0)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\), si ha che \(f(\tau+T, x_0) = f(\tau, x_0)\).
Indica con \(x(\cdot)\) la soluzione del PdC con dato iniziale \(x(\tau) = x_0\). Sai per ipotesi che tale soluzione è periodica, dunque \(x(\tau+T) = x(\tau)\) e \(\dot{x}(\tau+T) = \dot{x}(\tau)\). Riscrivi quest'ultima condizione in termini di \(f\).

OT: Paolo90 attento a non arrivare stanco agli esami! riposati ogni tanto!

Dunque, proviamoci.

Con le tue notazioni, Rigel, possiamo scrivere $f(\tau+T, x(tau+T))=f(tau, x(tau))$ (e questo è, in sostanza, quello che ho dimostrato io nel primo post). Ora
\[
f(\tau+T, x(\tau+T)) = f(\tau+T, x(\tau)) = f(\tau+T,x_0).
\]

D'altra parte,
\[
f(\tau, x(\tau)) = f(\tau, x_0)
\]

Ma quindi $f(\tau+T, x(tau+T))=f(tau, x(tau)) \Leftrightarrow f(\tau+T,x_0) =f(\tau, x_0)$.

Ok? Io però non sono per nulla convinto... dove uso l'ipotesi sulla limitatezza della derivata di $f$?

Grazie molte per l'aiuto.

P.S. @Thomas: grazie per il suggerimento, terrò a mente

L'ipotesi sulla limitatezza di \(\partial_x f\) serve per garantire l'esistenza globale delle soluzioni dei PdC; non credo abbia nessun altro scopo.

Ah, fantastico. Allora è giusto.
Sì, non era affatto difficile alla fine; però - e questa cosa me la segno - bisogna sempre stare attenti a leggere il testo.

Grazie nuovamente per l'aiuto, Rigel.