No, non puoi "tranquillamente sostituire"... Prima devi "tranquillamente ragionare" su cosa succede, poi sostituisci.
Il PdC assegnato è:
\[
\tag{1}
\left\{ \begin{split}
y^\prime (t) &= 3\ \min \left\{ t^2\ y(t), 4\right\} \\
y(0) &= 1\; .
\end{split}\right.
\]
La funzione a secondo membro, i.e.:
\[
f(t,y) := 3\ \min \left\{ t^2\ y, 4\right\} = \begin{cases} 12 &\text{, se } 3\ t^2y\geq 4\\ t^2y &\text{, se } t^2y\leq 4\; ,\end{cases}
\]
è definita e continua in \(\mathbb{R}^2\), nonché localmente lipschitziana rispetto ad \(y\); quindi (
1) ha un'unica soluzione locale che si prolunga in un unica soluzione massimale.
Dato che \(f\) è di classe \(C^\infty(\mathbb{R}^2\setminus \Gamma)\), in cui:
\[
\Gamma:= \left\{ (t,y)\in \mathbb{R}^2:\ t^2y=4 \right\} \; ,
\]
ma che \(f\) non ha maggiore regolarità di \(C^0\) in tutto \(\mathbb{R}^2\)
1, la soluzione massimale di (
1) è solo una funzione di classe \(C^1\) nel proprio intervallo di definizione.
Tuttavia, negli intervalli in cui il grafico della soluzione non interseca punti della curva \(\Gamma\), la soluzione è \(C^\infty\).
Il secondo membro della EDO è sublineare rispetto ad \(y\), poiché infatti:
\[
|f(t,y)|\leq 3 t^2\ |y|\; ,
\]
e ciò assicura che le soluzioni massimali della EDO sono definite su tutto \(\mathbb{R}\).
La EDO ha inoltre una soluzione stazionaria globale, cioé \(y^*(t)=0\). Dato che siamo in regime di unicità, il grafico di ogni altra soluzione massimale della EDO non può incontrare il grafico di \(y^*\); conseguentemente, ogni altra soluzione massimale della EDO o assume sempre valori positivi, oppure assume sempre valori negativi in \(\mathbb{R}\).
Inoltre, si ha \(f(t,y)> 0\) solo se \((t,y)\) è in:
\[
\begin{split}
\Omega^+ &:= \{(t,y)\in \mathbb{R}^2:\ t^2 y\geq 4\} \cup \{(t,y)\in \mathbb{R}^2:\ t^2y\leq 4 \text{ e } t^2y> 0\}\\
&=\{(t,y)\in \mathbb{R}^2:\ t^2 y\geq 4\} \cup \{(t,y)\in \mathbb{R}^2:\ t^2y\leq 4,\ t\neq 0 \text{ e } y> 0\}\\
&= (\mathbb{R}\setminus \{0\})\times ]0,\infty[
\end{split}
\]
(sicché \(\Omega^+\) è l'unione del primo e del secondo quadrante) ed analogamente \(f(t,y)< 0\) solo se \((t,y)\) è in:
\[
\begin{split}
\Omega^- &:= \{(t,y)\in \mathbb{R}^2:\ t^2y\leq 4 \text{ e } t^2y<0\}\\
&= \{(t,y)\in \mathbb{R}^2:\ t^2y\leq 4,\ t\neq 0 \text{ e } y<0\}\\
&= (\mathbb{R}\setminus \{0\})\times ]-\infty ,0[
\end{split}
\]
(ossia \(\Omega^-\) è l'unione del terzo e del quarto quadrante), mentre \(f(t,y)=0\) solo se \(t=0\) oppure \(y=0\) cioé se \((t,y)\in \Omega_0:= \mathbb{R}^2\setminus (\Omega^+ \cup \Omega^-)\) (l'insieme \(\Omega_0\) è l'unione degli assi coordinati).
Ne consegue che la soluzione massimale è strettamente crescente [risp. decrescente] fintantoché il suo grafico cade nella zona \(\Omega^+\cup \Omega_0\) [risp. \(\Omega^-\cup \Omega_0\)].
In più, finché il grafico della soluzione massimale è in \(\mathbb{R}^2\setminus \Gamma\) si ha:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime} (t) &= \begin{cases} 0 &\text{, se } t^2y(t)>4\\
6ty(t) + 3t^2y^\prime (t) &\text{, se } t^2y(t)<4
\end{cases}\\
&= \begin{cases} 0 &\text{, se } t^2y(t)>4\\
6ty(t) + 3t^2\min \{t^2 y(t),4\} &\text{, se } t^2y(t)<4
\end{cases}\\
&= \begin{cases} 0 &\text{, se } t^2y(t)>4\\
6ty(t) + 3t^4y(t) &\text{, se } t^2y(t)<4
\end{cases}\\
&= \begin{cases} 0 &\text{, se } t^2y(t)>4\\
3ty(t)\ (2+t^3) &\text{, se } t^2y(t)<4\; .
\end{cases}
\end{split}
\]
Da ciò segue che la generica soluzione massimale è un polinomio di primo grado fintantoché il suo grafico rimane confinato nella regione descritta dalla limitazione \(t^2y\geq 4\); d'altra parte, fino a che il grafico rimane confinato nella regione descritta dalla limitazione \(t^2 y\leq 4\), la soluzione massimale può cambiare concavità. La situazione è descritta nel diagramma che segue:
in cui \(\cup\) sta per "convesso" e \(\cap\) per "concavo".
Queste sono solo alcune tra le informazioni qualitative che possiamo dire circa gli integrali della EDO assegnata nel PdC; ora proviamo a risolvere esplicitamente il problema.
Visto che il punto iniziale \((t_0,y_0)=(0,1)\) è in \(\Omega_0\) e che la soluzione locale \(y_1(t)\) di (1), definita in un intorno completo di \(0\), ha il grafico che localmente si discosta poco da tale punto, possiamo senz'altro supporre che il grafico di \(y_1(t)\) cada tutto nella zona \(\Omega^+\cup \Omega_0\): pertanto \(y_1(t)\) è crescente intorno a \(0\); d'altro canto, a meno di restringere un po' l'intervallo di definizione, possiamo supporre che \(y_1(t)\) sia concava a sinistra e convessa a destra di \(0\).
Inoltre, dato che il punto iniziale \((0,1)\) cade nella zona in cui \(t^2 y\leq 4\), a meno di restringere ancora un po' l'intervallo di definizione, possiamo supporre che risulti \(t^2 y_1(t)\leq 4\) sempre intorno a \(0\); ciò porta a concludere che \(f(t,y_1(t))=3t^2\ y_1(t)\) cosicché \(y_1(t)\) soddisfa:
\[
y_1^\prime (t) = 3t^2\ y_1(t)\; ;
\]
da ciò, separando le variabili
2 e tenendo presente la condizione iniziale, si trae:
\[
\int_1^{y_1(t)} \frac{1}{\eta}\ \text{d} \eta = \int_0^t 3\tau^2\ \text{d} \tau
\]
ossia:
\[
\ln y_1(t) = t^3
\]
da cui:
\[
y_1(t)=e^{t^3}
\]
per
\(t\) in un conveniente intorno di \(0\).
Ora che abbiamo l'espressione analitica dell'integrale locale, bisogna crecare di prolungarlo ad un integrale massimale.
Per fare ciò, bisogna innanzitutto capire "fin dove può valere" l'espressione analitica trovata, cioé determinare il
conveniente intorno di \(0\) citato sopra.
Dalla EDO segue che l'espressione analitica trovata vale fintantoché non cambia il secondo membro dell'equazione; dato che il secondo membro della EDO cambia non appena \(t^2y_1(t)\) diventa \(\geq 4\), è abbastanza naturale concludere che il conveniente intorno di \(0\) citato sopra è il più grande intorno di \(0\) che si può isolare nell'insieme delle soluzioni della disequazione:
\[
\tag{2}
t^2\ e^{t^3}\leq 4\; ;
\]
pertanto abbiamo bisogno di determinare (più o meno esplicitamente) l'insieme delle soluzioni di tale disequazione.
La funzione \(\phi (t):=t^2e^{t^3}\) è nonnegativa, divergente in \(+\infty\) ed il suo diagramma come asintoto orizzontale a sinistra l'asse delle \(t\); d'altra parte, essa è crescente [risp. decrescente] in \(]-\infty, -\sqrt[3]{2/3}]\cup [0,\infty[\) [risp. \([-\sqrt[3]{2/3},0]\)] ed il suo massimo locale, preso in \(-\sqrt[3]{2/3}\), è \(\phi (-\sqrt[3]{2/3}) \approx 0.39\).
Ne viene che la disequazione (2) è soddisfatta certamente per \(t\leq T\), in cui \(T>0\) è l'unico numero reale tale che \(T^2e^{T^3}=4\); tale numero, non esprimibile elementarmente, ha il valore \(T\approx 1.075\).
Conseguentemente, l'espressione locale della soluzione \(y_1(t)=e^{t^3}\) vale in tutta la semiretta \(]-\infty, T]\).
[E già questo basterebbe per risolvere l'esercizio, perché \(-1\in ]-\infty,T]\).]
Subito dopo \(T\), la EDO soddisfatta dall'integrale massimale in cui si prolunga la soluzione locale del PdC assegnato è:
\[
y^\prime (t) = 12\; ,
\]
ed ad essa va accoppiata la condizione iniziale:
\[
y(T)=\frac{4}{T^2}\; .
\]
La soluzione del nuovo PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (t) = 12 \\
y(T) = 4/T^2
\end{cases}
\]
è evidentemente:
\[
y_2(t) = 12t + \frac{4}{T^2} \left( 1- 3 T^3 \right)
\]
e si vede senza sforzo che essa è in forza per tutti gli \(t\geq T\).
Da quanto detto si conclude che la soluzione massimale del PdC assegnato è la funzione che si ottiene raccordando \(y_1\) ed \(y_2\), cioé:
\[
y(t;0,1) := \begin{cases} e^{t^3} &\text{, se } t\leq T\\
12t + \frac{4}{T^2} \left( 1- 3 T^3 \right) &\text{, se } t\geq T\; .
\end{cases}
\]