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Ciao ho questa serie di funzioni:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{log(\frac{x}{n})}{x^2+n^2}} \),
con \(\displaystyle x>0 \),
\(\displaystyle \frac{log(\frac{x}{n})}{x^2+n^2} \leq \frac{log(\frac{x}{n})}{n^2} \leq \frac{\frac{x}{n}}{n^2} = \frac{x}{n^3} \),
dal criterio del confronto \(\displaystyle {x}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^3}} \) converge \(\displaystyle \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{log(\frac{x}{n})}{x^2+n^2}} \) converge su \(\displaystyle (0, +\infty) \);
per la convergenza totale cerco di studiare la derivata prima ma non è risolvibile analiticamente a prima vista:
\(\displaystyle f'_{k}(x) = \frac{x^2+n^2 -2x^2log(\frac{x}{n})}{x(x^2+n^2)^2} \), ma sono bloccato qui e non so se converge totalmente oppure no.

Se la serie convergesse uniformemente su \((0,+\infty)\) allora il suo termine generale dovrebbe convergere uniformemente alla funzione nulla. Ma il termine generale non è nemmeno limitato in \((0, +\infty)\)...

PS: la stima che hai fatto per la convergenza puntuale non va bene (è solo una stima dall'alto); puoi però limitarti a dire che \(f_n(x) \sim (\log x)/n^2\) per concludere che la serie converge puntualmente.

ho commesso un errore nella funzione al logaritmo è \(\displaystyle log(\frac{x}{n}) \)!
Scusa non ho capito che cosa intendi per stima dall'alto, ho considerato x > 0, cioè il dominio del logaritmo.
Però se fisso x e passo al limite per n che tende ad infinito il termine generale tende a zero.
\(\displaystyle \frac{log(\frac{x}{n})}{x^2+n^2} = \frac{log{x}}{x^2+n^2} - \frac{log{n}}{x^2+n^2} \rightarrow 0-0, n\rightarrow \infty \)

Se vuoi usare il criterio del confronto devi maggiorare \(|f_n(x)|\), non \(f_n(x)\), e lì hai un logaritmo che va a \(-\infty\) quando \(x\to 0^+\).
Per la convergenza uniforme rimangono valide le considerazioni già fatte, anche se la funzione è leggermente diversa.

ah forse intendevi che la funzione è decrescente sul tutto il suo dominio e l'estremo superiore è infinito?