Esistenza e unicità per un'equazione integrale
Inviato: 12/08/2014, 10:14
[PhD SISSA 2000] Sia $K\in C([0,2])$ positiva, decrescente e tale che $K(0) =1$.
Dimostrare che per ogni $h \in C([0,1])$ esiste un'unica soluzione $u\in C([0,1]) $ all'equazione
$u(x) = h(x) + \int_0^1 K(x+y)u(y) dy $ $\quad \forall x\in [0,1]$.
Sono piuttosto in difficoltà con questo esercizio ...ho provato diverse strade ma si sono rivelate fallimentari. In spoiler trovate la mia idea principale:
Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto
Dimostrare che per ogni $h \in C([0,1])$ esiste un'unica soluzione $u\in C([0,1]) $ all'equazione
$u(x) = h(x) + \int_0^1 K(x+y)u(y) dy $ $\quad \forall x\in [0,1]$.
Sono piuttosto in difficoltà con questo esercizio ...ho provato diverse strade ma si sono rivelate fallimentari. In spoiler trovate la mia idea principale:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Notando che l'integrale è una convoluzione di $K(-x)$ con $u$, e data la regolarità delle funzioni in gioco, si può pensare di estendere le funzioni su tutto $\mathbb{R}$ ed applicare la trasformata di Fourier. In questo modo si ottiene un'equazione algebrica in $\hat{u}$; ricordando le proprietà di $K$, si dimostra che $\hat{u} \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})$. A questo punto si può applicare la trasformata di Fourier inversa per trovare $u$. La regolarità di $u$ segue dal fatto che soddisfa la suddetta equazione.
Tuttavia non mi sono chiari i dettagli: ad esempio, come possiamo estendere le nostre funzioni $u,K,h$ a tutto $\mathbb{R}$ ? C'è veramente bisogno di trasformare alla Fourier?
Tuttavia non mi sono chiari i dettagli: ad esempio, come possiamo estendere le nostre funzioni $u,K,h$ a tutto $\mathbb{R}$ ? C'è veramente bisogno di trasformare alla Fourier?
Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto