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Ciao! Avrei bisogno di una mano con un problema:
Data la curva di equazioni:
$x=e^(t)$
$y=e^(t)+1$
$z=e^(2t)-1$
Determinare un punto, se esiste, tale che la sua tangente passi per $A (0,1,-2) $

Io avevo pensato di trovare la direzione della retta passante per A e il generico punto appartenente alla curva. Poi fare il prodotto scalare tra questa e il gradiente e porlo uguale a zero. Così mi verrebbe che nessun punto soddisfa la richiesta. È corretto?

Sì, oppure scrivi la generica retta tangente in un punto qualsiasi della curva e imponi il passaggio per $A$.

Due cose:

Per quanto riguarda il gradiente, essendo formato solo dalle derivate parziali di x e y, posso non considerare la derivata parziale di z? Però in questo caso, quando faccio il prodotto scalare con il punto, non devo comprendere la coordinata di z del punto stesso, o sì?

Altra domanda: con il tuo metodo, per scrivere l'equazione generale della tg, mi serve f(P). Ma nel mio caso come faccio ad inserire f(P) in un'equazione, se è composto da tre equazioni?

Ora che rileggo anche quello che hai scritto prima... Che centra il gradiente? Qua c'è una curva parametrica. Non mi dire che ti sei messo a scrivere $z=f(x,y)$ (che tra l'altro non ti darebbe comunque una funzione per cui calcolare il gradiente, visto che parliamo di curva e non superficie)???? Il vettore tangente alla curva parametrica è $\gamma'(t)=(e^t, e^t, 2e^{2t})$. In un generico punto $\gamma(t)=(e^t,e^t+1,e^{2t}-1)$ l'equazione parametrica della retta tangente risulta
$$x=e^t+e^t s,\quad y=e^t+1+e^t s,\quad z=e^{2t}-1+2e^{2t} s$$
con $s$ parametro reale. Per trovare i punti basta imporre che
$$0=e^t(1+s),\quad 1=e^t(1+s)+1,\quad -2=e^{2t}(2s+1)-1$$
Dalla prima ricaviamo che $s=-1$ che sostituito nella terza (la seconda è verificata) restituisce $-2=-e^{2t}-1$cioè $e^{2t}=1$ e quindi $t=0$. L'unico punto della curva che soddisfa tali condizioni è pertanto $\gamma(0)=(1,2,0)$.

Ah, magnifico. Grazie. Pensavo che il gradiente fosse il vettore normale alla tangente ala curva, non pensavo riguardasse solo le superfici

Mi sa che ti devi studiare un po' di teoria di curve e superfici, ciccio!

È che, in relazione al gradiente, il mio libro parla di funzione non di curve o superfici. :/

Sì, ma uno cerca pure di fare due più due. Se $f$ è di una variabile, il gradiente coincide con la derivata, mentre è un vettore con le derivate parziali se $f$ è di più variabili. Ma in questo caso hai una curva parametrica: lì, la nozione di gradiente, non è proprio definita.

Sì ma per quanto parametrica, è comunque una funzione in più variabili e da quello che so si può sempre scrivere in forma non parametrica.

Errato, non è una funzione in più variabili, ma una funzione vettoriale di una variabile. Se vuoi scriverla in forma cartesiana hai bisogno di 2 funzioni: infatti una funzione del tipo $z=f(x,y)$ nello spazio dà luogo ad una superficie, mentre per avere una curva nello spazio devi intersecare due superfici. Come vedi il concetto di gradiente continua ad essere, anche sotto questa ottica, qualcosa di non applicabile. Al più otterresti una matrice fatta dalle derivate parziali prime delle due funzioni che definiscono le due superfici da intersecare.

P.S.: non ti mettere a discutere con un ricercatore in geometria differenziale, perdi! (ovviamente sto ironizzando, non vorrei mai te la prendessi)