Matematicamente.it

di nuovo ciao a tutti ,

questo esercizio (sulla teoria semplice) mi ha fatto venire diversi dubbi: Determinare massimi e minimi assoluti della funzione
$f(x,y)=|x+y|-|x^2-y^2|$
nel quadrato definito di vertici $[-1,1]x[1,1]x[-1,-1]x[1,-1]$ .
io per iniziare ho riscritto la mia f(x,y) senza i valori assoluti in questo modo

$ { ( -x^2+y^2+x+y ),( -x^2+y^2-x-y ),( x^2-y^2-x-y ):} $
la prima per $x>=y$ la seconda per $x<=-y$ la terza per $ -y<x<y$

poi mi son andato a studiare le derivate prime di queste tre funzioni dentro il quadrato, e infine ho calcolato le derivate prime dell'opportuna f(x,y) sui lati del quadrato. Può essere giusto questo procedimento?

Io direi che qui, negli aperti (quindi senza le frontiere) dei sottoinsiemi del quadrato di partenza puoi usare l'ottimizzazione senza vincoli, quindi calcoli i gradienti sui rispettivi aperti. Sulle frontiere però ti occorre la Lagrangiana, perché si tratta di ottimizzazione vincolata.

Non sono d'accordo su come hai gestito il modulo, magari sbaglio io,
ma vedo 4 regioni, delimitate dalle bisettrici dei quadranti
nella regione che contiene il semiasse positivo delle ascisse abbiamo $f(x;y)=y^2-x^2+x-y$
nella regione che contiene il semiasse positivo delle ordinate abbiamo $f(x;y)=x^2-y^2+x+y$
nella regione che contiene il semiasse negativo delle ascisse abbiamo $f(x;y)=y^2-x^2-x-y$
nella regione che contiene il semiasse negativo delle ordinate abbiamo $f(x;y)=x^2-y^2-x-y$

Inoltre direi che possiamo accorgerci abbastanza velocemente che la funzione assume il valore minimo quando in entrambi i moduli abbiamo il valore zero, cioè lungo la bisettrice di II e IV quadrante

Frink ha scritto:Sulle frontiere però ti occorre la Lagrangiana, perché si tratta di ottimizzazione vincolata.

Non necessariamente, trattandosi di segmenti si può studiare molto facilmente cosa succede sul bordo in maniera diretta.