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Salve, mi trovo in difficoltà con questa successione di funzioni:

$ y_n(x) = x^n(x+1/n) $

Allora... Ho trovato l'insieme di definizione tramite il limite:

$ lim_(n -> oo ) x^(n+1) + x^n/n = { ( +oo: se x>1) ,( 1: se x=+-1 ),( 0:se -1<x<1 ),( -oo: se x<1 ):} $

e risulta essere:
$ D={x in R: -1<=x<=1} $
Quindi, convergenza puntuale: $ y_n $ converge alla funzione $ y(x) = { ( 1rarr x=+-1 ),( 0 rarr -1<x<1):} $

(Le frecce stanno per "se")

Per la convergenza uniforme? Non ci sto capendo niente. Penso di aver fatto già un macello fin qui.
Che qualcuno mi aiuti per favore... Grazie

La successione non ha limite per $x<-1$ e $x=-1$ (oscilla tra valori negativi e positivi, sempre più grandi in modulo se $x\ne -1$).

La convergenza puntuale non può esserci per $x\in (-1,1]$ perché la funzione limite è discontinua. Invece hai
\[\sup_{x\in(-a,a)}|x^n(x+1/n)|=a^n(a+1/n)\to
\begin{cases}
0&\text{se}\ 0<a<1\\
1&\text{se}\ a=1
\end{cases}
\]

Ok, per i primi due righi ci sono. Poi non ho ben capito... dimmi se è così:
non ho convergenza puntuale in tutto l'insieme di definizione perché la funzione è discontinua in (-1,1].
Ma se restringo l'intervallo a (0,1) ho convergenza puntuale ed anche uniforme.
Ma perché non in [0,1) ?

La tua è una successioni di funizioni continue su $(-1,1]$ e su questo intervallo converge puntualmente a una funzione discontinua. Se una successione di funzioni continue coverge uniformemente, la funzione limite è continua. Ne deduci che non puoi avere convergenza uniforme.

Nemmeno su $(-1,1)$ c'è convergenza uniforme, come ti ho mostrato applicando la definizione.

Il problema te lo causano i punti $x=\pm 1$: se ti ci allontani un po', per esempio restringendoti a qualsiasi sottoitervallo del tipo $(-a,a)$, hai convergenza uniforme.

Grazie mille. Sei stato chiarissimo!!!