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Salve, se si ha una funzione f: [a,b] -> R, si può dire che è continua dato che ha come dominio un intervallo e come codominio tutto R?

Non è detto che sia continua.
Prendi per esempio la funzione $f: y = 1/x $, $f: [-4,10] sub RR \to RR$.
In questo caso, anche se la funzione è definita in un intervallo, non è continua.
Infatti il dominio: ${x in RR , -4<=x<=10 , x!=0}$
immagine del codominio: ${y in RR , y!=0}$.
Come vedi lo 0 non fa parte del dominio (e nemmeno dell'immagine del codominio!!) , anche se il dominio è definito in un intervallo

Il controesempio non va molto bene perché la funzione data non è definita in $x=0$. Ma sono d'accordo che il solo fatto di avere intervalli come dominio e codominio non basta a garantire la continuità di una funzione.

Appunto non è definita in zero, di conseguenza in quel punto presenta una discontinuità =) di conseguenza quindi, non è continua. Nota che come dominio ho preso un sottoinsieme di R (un intervallo che va da -4 a 10 estremi inclusi).

Elmales ha scritto:Appunto non è definita in zero, di conseguenza in quel punto presenta una discontinuità =) di conseguenza quindi, non è continua. Nota che come dominio ho preso un sottoinsieme di R (un intervallo che va da -4 a 10 estremi inclusi).

E' un vecchio punto dolente su cui ci si è accapigliati moltissime volte qui sul forum.

Se una funzione non è definita in un punto non puo' essere discontinua nello stesso, perché li' non esiste proprio. In altri termini, quando si dice che una funzione è discontinua in un punto, si dice implicitamente che li' è definita.

Un esempio di funzione definita su tutto $RR$ e che presenta una discontinuità in $0$ è
\[
\begin{cases}
1, & x\ge 0 \\
0, & x<0
\end{cases}
\]

Io sapevo, almeno per la funzione di esempio che ho preso io, che la discontinuità fosse di seconda specie, ma che si trattasse comunque di una discontinuità...

Ma infatti c'è chi la pensa così. Si tratta però di un punto di vista di vecchia scuola. Nell'ottica della matematica moderna è meglio non considerare come "discontinuità" i punti in cui una funzione non è definita, perché in questo modo si hanno definizioni compatibili con il punto di vista astratto della topologia.

(In generale uno può parlare di "continuità" per una funzione definita tra due insiemi, non necessariamente di numeri reali. Si tratta di un punto di vista astratto che presenta numerosi vantaggi. Da questo punto di vista, la continuità delle funzioni reali di variabile reale è un caso particolare.)