Wow mi fa piacere che il mio 3d si sia animato in questo modo! comunque tornando un attimo alla questione centrale dell'argomento:
dissonance ha scritto:Si, ok, lui "tira via" su alcune questioni di interesse per i matematici ma non per le applicazioni. Per definizione un sottoinsieme di \( \mathbb{R}^n \) si dice "connesso" se ogni coppia di punti si può congiungere con un cammino continuo. Risulta poi (e questo è un teorema) che in realtà il cammino si può prendere liscio. E quindi il tuo prof prende un cammino liscio perché altrimenti potrebbe avere problemi a differenziare $ f(\gamma(t)) $.
Sono dettagli tecnici questi, non molto importanti.
Ora ho capito, effettivamente, leggendo anche quello che avete scritto successivamente, mi sembra che siate entrati un po troppo nei dettagli per il corso di laurea di ingegneria informatica (alcuni dei teoremi che avete tirato fuori neanche li abbiamo fatti) quindi penso che sia giusto dover prendere "per giusto" il cammino di classe c1.
Plepp ha scritto:Se non vuoi fare questo discorso della curva che "diventa" $ C^1 $, puoi fare così.
Puoi ridimostrare il Teorema sostituendo $ \Omega $ con una sfera $ B_r(x) $ di centro e raggio qualsiasi. Lo fai senza cambiare niente nella dimostrazione precedente, con la differenza che ora, trovandoti in una sfera, puoi congiungere i varii punti con un segmento. Fatto ciò, ottieni (quasi) automaticamente che il Teorema è valido per un qualsiasi aperto che sia connesso.
Grazie mille anche a te, questa in effetti è un'altra dimostrazione che ho trovato su alcuni appunti più vecchi di una studentessa, ma sinceramente trovo la prima dimostrazione molto più "bella" e soprattutto rapida, perche con la dimostrazione che esponi tu, dovrei prima dimostrare il lemma per una sfera, e poi "riportare" il tutto in un aperto connesso nel quale possono essere costruite delle sfere infinitesimali e quindi il teorema è dimostrato.
Comunque grazie veramente a tutti. siete sempre chiarissimi dove molte volte il professore o i libri danno delle cose per scontato...