Matematicamente.it

Salve, chiedo aiuto nella risoluzione di due limiti per cui ho usato i limiti notevoli ma in cui permane la forma indeterminata 0/0. Ho provato con De L'Hopital, ma anche in questo caso il risultato non coincide con quello proposto! Dunque convengo nel fatto di sbagliare qualcosa. Ve li propongo:

1) $ lim_(x -> 0) (8x)/(x-tan x)((e^(cosx - 1) )-1 ) $

2) $ lim_(x -> 0) (4x)/(x-tan x)(root()((cosx) )-1 ) $

Grazie a chiunque mi aiuterà

Ciao Salt, hai già studiato gli sviluppi di Taylor? Mi pare che i limiti che hai proposto si risolvano con Taylor e non con i limiti notevoli, per via della sottrazione $x - tanx$. Ma aspettiamo altri pareri: a volte sui limiti ci aiuta Francicko ( ) che è fortissimo su questo argomento. Vediamo...

Con gli sviluppi in serie di Taylor di sicuro si risolve!

$ (8x)/(x-tanx)(e^(cosx-1)-1)=(8x)/(x-x-x^3/3+o(x^3))(e^(-x^2/2+o(x^2))-1)=(8x)/(-x^3/3+o(x^3))(-x^2/2+o(x^2))=(4x^3+o(x^3))/(x^3/3+o(x^3))rarr12 $
per $ xrarr0 $

Ciao jitter e ostrogoto.. vi ringrazio per le risposte ma non ho studiato gli sviluppi in serie di Taylor (né penso mai li studierò dato che non sono in programma). Non c'è un altro modo per risolverli prescindendo dai suddetti sviluppi?

$ lim_(x->0)8x(e^(cosx-1)-1)/(x-tanx)=lim_(x->0)8x(e^(cosx-1)-1)/(x-tanx)*(cosx-1)/(cosx-1) = lim_(x->0)8x(cosx-1)/(x-tanx)*x^2/x^2=lim_(x->0)-4x^3/(x-tanx) $
A questo punto ho applicato il De l'Hopital, è la prima volta che mi capita di usare limiti notevoli e De l'Hopital insieme. $ lim_(x->0)-12x^2/(1-1/cos^2x)=lim_(x->0)12x^2cos^2x/sin^2x=12 $

x@jitter.
Ti ringrazio per il fortissimo ma ahime' non corrisponde a verita'.
Ritornando ai limiti in questione sono perfettamente d'accotdo con quanto asserisci, ed e' il motivo per cui in questi casi bisogna necessariamente ricorrere a taylor, come ha d'altronde illustrato perfettamente @ostrogoto, o in alternativa usare hopital, che pero' comporta lungaggini nei calcoli, con facilità di errori.
In questo caso se proprio non si puo' usare taylor, si puo' snellire un po il calcolo facendo uso dei limiti notevoli(asintotici) e successivamente applicare hopital, come fatto penso giustamente da @E-313,

Ragazzi grazie a tutti!! Alla fine sono riuscita da sola! All'inizio non veniva perchè, pur facendo gli stessi passaggi di @E-313, la derivata di tgx la scrivevo come 1/(cosx)^2 e poi non scrivevo quest'ultimo come 1+(tgx)^2, quindi permaneva la forma indeterminata.

In ogni caso, grazie ancora! Siete stati gentilissimi