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Non riesco a capire perché $lim_(n->infty)root(n)(-a)=1$ con $ain$ $N $ ed $lim_(n->infty)root (n)(-n)=1$
Potreste darmi cortesemente qualche delucidazione;
Saluti!

Ciao


la dimostrazione è molto semplice


$lim_(n->oo) root(n)(-a) = lim_(n->oo) (-a^(1/n)) = -a^(1/oo) = -a^0 = 1$


per quanto riguarda il secondo limite, è un pochino più complesso ma ci si arriva

$lim_(n->oo) root(n)(-n) = lim_(n->oo) (-n)^(1/n) = lim_(n->oo) e^(ln(-n)^(1/n)) = lim_(n->oo) e^(1/n ln(-n)) =e^( lim_(n->oo) (1/n ln(-n))) = e^( lim_(n->oo) (ln(-n)/n))$

quindi non ti resta che risolvere il limite $lim_(n->oo) (ln(-n)/n)$

inizialmente come vedi è una forma indeterminata del tipo $oo/oo$

ma siccome sia la funzione $ln(-x)$ che la funzione $x$ sono entrambe continue e derivabili nel loro dominio, puoi utilizza del'Hopital quindi ottieni

$lim_(n->oo) (ln(-n)/n) = lim_(n->oo) ((-1/n)/1) = lim_(n->oo) (-1/n) = -1/oo=0$

pertanto, ricapitolando:

$lim_(n->oo) root(n)(-n) = e^( lim_(n->oo) (ln(-n)/n)) = e^0 = 1$


spero di esserti stato di aiuto

Ciao

Intanto grazie per la risposta, il tuo ragionamento e' giusto,però nel caso avessimo $logn$, qui abbiamo $log (-n) $,ed il logaritmo di un numero negativo non esiste, per esempio $lim_(x->0^+)xlogx=0$,ma $lim_(x->0^-)xlogx$ ha senso? $logx$ non e definita per valori di $x <=0$, mi sbaglio ?

In effetti mi hai fatto venire qualche dubbio,

ci ragiono su un momento e ti dico

Mi pare che $root (n)(-n)$ per $n-> +infty$ non esista.

Vero ho detto una boiata io!

il ragionamento che ho fatto nel mio post precedente vale se hai $sqrt(n)$ e non se hai $sqrt(-n)$

Il mio appunto era sulla domanda di francicko.
Come si può chiedere quanto fa una cosa che non esiste?

@melia ha scritto:Il mio appunto era sulla domanda di francicko.
Come si può chiedere quanto fa una cosa che non esiste?

Ho posto la domanda, perché il risolutore automatico wolfram alpha continuava a darmi come risultato $1$, fornendo anche uno sviluppo in serie, e non capivo il perché , probabilmente non
prende in considerazione la parte immaginaria $i$