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Salve ragazzi!
Come da titolo devo trovare il campo di olomorfia di $log(-1+sqrt(z))$ dove considero la determinazione principale di radice e logaritmo con $arg(z) \in (-\pi, \pi]$.
La prima cosa che faccio è notare che l'insieme di definizione della funzione è $I_{def} = C\\{1}$.
Poi noto che il campo di olomorfia di $sqrt(z)$ è $O(sqrt(z)) = C \\ {z \in C: Im(z) = 0, Re(z) \leq 0}$.
Considero ora $\alpha = -1 + sqrt(z)$.
Pongo $z = R \cdot e^{i\theta}$ quindi $-1 + sqrt(z) = -1 +R^{1/2} \cdot (cos(\theta/2) + i \cdot sin(\theta/2))$.
Quindi $Im(\alpha) = R^{1/2} \cdot sin(\theta/2) = 0 \Leftrightarrow \theta = 0$ (perchè $\theta/2 \in (-\pi/2, \pi/2]$).
Ne segue che $Re(\alpha) = R^{1/2} - 1 \leq 0 \Leftrightarrow R \leq 1$ imponendo la condizione su $\theta$.
Questo vuol dire ${Im(\alpha) = 0, Re(\alpha) \leq 0} = {z \in C: Im(z) = 0, 0 \leq Re(z) \leq 1}$.
Perciò (intersecando i due campi di olomorfia) $O(log(-1+sqrt(z))) = I_{def] \\ {z \in C: Im(z) = 0, Re(z) \leq 1}$.
Il libro però da come soluzione: $O(log(-1+sqrt(z))) = C\\{z \in C: Im(z) = 0, Re(z) \leq 0}$.
Dove sbaglio?

Hai intersecato bene?
Comunque $\Re(\alpha)=\sqrt(R)\cos(\theta/2)-1$

dan95 ha scritto:Hai intersecato bene?
Comunque $\Re(\alpha)=\sqrt(R)\cos(\theta/2)-1$

E' così in generale, ma da $Im(\alpha) = 0$ ottengo $\theta = 0$ e quindi $Re(\alpha) = R^{1/2} - 1$. No?

Comunque avevo sbagliato a trasformare le condizioni di $\theta$ e $R$ in $Im(z)$ e $Re(z)$, ora le ho cambiate, ma anche così l'intersezione rimane la stessa. :/

Nessuno che mi sa dire dove ho sbagliato o se ha sbagliato il libro?

Ti posso dire che il libro non ha sbagliato perché anche in una dispensa di analisi complessa che ho trovato c'era scritto lo stesso risultato, per il resto mi spiace ma non posso aiutarti, ancora non riesco a capire il perché

Quello che mi sembra strano in quel dominio di olomorfia (oltre al non capire da cosa esca fuori) è che comprende il punto z=1 dove la funzione in realtà non è definita...