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Mi servirebbe una mano con lo studio di questa funzione:

$ log^3(5x)- log 5x $

Ho che il dominio è per le $x>0$ ponendo l'argomento del logaritmo maggiore di zero. Poi non ci sono simmetrie in quando l'argomento del logaritmo come già detto non può essere negativo.
Sul segno invece non so come continuare: pongo la funzione maggiore o uguale a zero e poi non riesco a risolvere la disequazione. Quindi da quì in poi non ho continuato. Potreste darmi una mano?

Come fa il dominio ad essere tutto $RR$ se l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero? Poi prova a raccogliere $log(5x)$ ...

Chiedo scusa volevo dire che il dominio è per le x>0... Va bene provo a raccogliere $log(5x)$

Quindi ho:
$ log^3(5x)- log 5x >= 0 iff log 5x(log^2 1-1)>=0 iff log 5x>=1 iff 5x>=1 iff x>= 1/5 $
giusto?

Dunque ... poni $log(5x)=t$ ... allora hai $t^3-t>=0\ =>\ t(t^2-1)>=0$ che risolta dà $-1<=t<=0 vv 1<=t$ ... adesso riprendiamo il logaritmo ed avremo tre (semplici) disequazioni da risolvere e cioè $log(5x)>=1$, $log(5x)<=0$ e $log(5x)>= -1$.

Procediamo con la prima $log(5x)>=1\ =>\ log(5x)>=loge\ =>\ 5x>=e\ =>\ x>=e/5$ ... prosegui tu con le altre due ...

Cordialmente, Alex