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Ho fatto quest'altro esercizio stavolta con una 2-forma:

$ omega=(x^2+y^2+z^2+2x)/(x^2+y^2+z^2)dx+(2y)/(x^2+y^2+z^2)dy+(2z)/(x^2+y^2+z^2)dz $

Ho verificato che è chiusa. Il dominio $ R^3-{0,0,0} $ non è un dominio semplicemente connesso.

Perciò ho scelto la sfera di centro l'origine e raggio unitario:

$ gamma :{ ( x=senthetacosphi ),( y=senthetasenphi ),( z=costheta ):} $

dove chiaramente $ 0<=theta<=2pi $ e $ 0<=phi<=2pi $ .

Calcolo quindi l'integrale:

$ int_(gamma)^() omega=int_(0)^(2pi)(1+2senthetacosphi)*(costhetacosphi-senthetasenphi)+(2senthetasenphi)*(costhetasenphi+senthetacosphi) +2costheta(-sentheta)d(theta)d(phi) $

Mi risparmio di scrivere i vari passaggi, comunque semplificando i vari termini e calcolando l'integrale si ottiene proprio $ 0 $ . Come abbiamo detto si ha che evidentemente gli integrali su tutte le superfici (non curve perchè siamo in $ R^3 $) che circondano l'origine si annullano. Dunque $ omega $ è esatta.

Successivamente l'esercizio chiede anche di calcolare una primitiva di $ omega $ e l'ho calcolata quindi sul fatto che sia esatta non ci piove Che dite, va bene?

Trivroach ha scritto:Ho fatto quest'altro esercizio stavolta con una 2-forma:

$ omega=(x^2+y^2+z^2+2x)/(x^2+y^2+z^2)dx+(2y)/(x^2+y^2+z^2)dy+(2z)/(x^2+y^2+z^2)dz $

Ho verificato che è chiusa. Il dominio $ R^3-{0,0,0} $ non è un dominio semplicemente connesso.

Ma come no. P.S.: Quella è una 1-forma.

Vero, non so perchè ho scritto 2-.

$ R^3-{0,0,0} $ allora è semplicemente connesso... cavolo, ero convinto del contrario

Trivroach ha scritto:Vero, non so perchè ho scritto 2-.

$ R^3-{0,0,0} $ allora è semplicemente connesso... cavolo, ero convinto del contrario

Se ci pensi la sfera è semplicemente connessa.