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Buongiorno!
Avrei bisogno di chiarire un dubbio...
Se io ho una funzione $f$ e so che $exists n in N: forall x in N, x>=n, f(x) <= f(x$*$) + varepsilon$, in virtù di cosa posso affermare che $lim_n f(x) <= f(x$*$) + varepsilon$?

Immagino ci sia un \(\forall \varepsilon > 0\) all'inizio, dico bene?

Sì, è con un $varepsilon>0$ fissato all'inizio...

E allora dovrebbe essere abbastanza semplice rispondere! Riesci a convertire quella frase nella definizione di limite?

Ci ho provato ma non riesco a capire come fare...

Allora, innanzitutto riscrivi le cose per bene, specificando che tipo di funzione è [dominio e codominio] e scrivendo i limiti correttamente [in quello che hai scritto la variabile limite è \(n\), che nemmeno compare].

Poi esponi qualche riflessione e vediamo che sai fare.

Allora... espongo in maniera completa il problema! Sono in una dimostrazione di un teorema con $f: A -> R, $ con $A subset R$.
Ho inoltre una successione ${x_n}$ di elementi di $A$ e $x$*$in A$.
Si verifica che $forall varepsilon >0, exists v in N : forall in in N, n>=v, f(x_n) < f(x$*$) + varepsilon$.
Poi, se considero $maxlim_(n-> +infty) f(x_n)$, si afferma che tale limite è $<= f(x$*$) + varepsilon$ per la disuguaglianza precedente.
Avevo pensato che dipendesse dal fatto che la disuguaglianza indicasse che $f(x_n)$ sia limitata superiormente, e quindi il limite non potesse che essere $<= f(x$*$) + varepsilon$. Non so però se sia corretto e, nel caso, se si potesse formalizzare...

Se gli elementi \(f(x_n)\) sono limitati definitivamente, il valore ottenuto passando al limite può al più essere il valore limitante. Se così non fosse ed il limite fosse \(l = f(x^*)+\varepsilon+\delta\), allora prendendo un intorno di \(l\) di raggio \(\frac{\delta}{2}\) non avresti un elemento della successione che ci casca dentro, quindi vai in contraddizione con l'assunzione che il limite sia \(l\).