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Basta porre
\[
c := \int_1^2 \frac{\sin\sqrt{t}}{t}\, dt
\]
e definire
\[
f(x) := c + \int_1^x \frac{\sin\sqrt{t}}{t}\, dt.
\]

In effetti non serviva che l'altro estremo fosse 0, non ci avevo pensato
Però in ogni caso va verificata la convergenza in $0$, perché la funzione dev'essere definita anche lì.

buuon pomeriggio a tutti e ancora grazie x gli aiuti, ragazzi io continuo ancora ad avere le idee confuse su come dimostrare con rigore la convergenza in 0, ora vi scrivo come ho provato a farla

$f(2)=2f(1)$
$f'(x)=(sen sqrt(x))/x$

$\int_{x0}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c$ ve ne sono infinite ne scelgo una
$f(2)= 2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c]$ dove gli estremi di integrazione sono f(1)=1 e f(2)=2

trovo c $c=-2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt]$

pertanto $f(x)= \int_{1}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt -2 \int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt$

vorrei riuscire a risolvere l'esercizio con più rigore possibile, ma secondo me questo non basta per stabilire se la f(x) così trovata è una funzione continua e derivabile

L'integrale di una funzione continua è continuo e derivabile. Ovviamente, affinché sia definita anche in $0$, devi dimostrare la convergenza di quell'integrale in $0$. Dopodiché, quanto ho appena detto è vero.

per dimostrare che f sia definita anche in 0 va bene questa come dimostrazione?:

$f(t)= \int_{1}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c$

osservo che $(sen sqrt (t))/t$ è asintoticamente equivalente a $1/sqrt(t)$ per t che tende a 0+ (come mi avete suggerito)
infatti
il $lim_{t=0+} (sen sqrt (t))/t$=...... (uso Hopital)...= infinito

$lim_{t=0+}/sqrt(t) $ = infinito

$1/sqrt(t)$ ha integrale improprio convergente, infatti calcolando una primitiva $\int 1/sqrt(t)=$ ottengo $2sqrt(t)+c$
quindi l'integrale converge in 0+

Ragazzi se ci sono errori o imprecisioni vi prego di riscrivermi tutto il procedimento perchè non riesco a venirne a capo
grazie

Non c'è bisogno di invocare De l'Hopital. Infatti, basta osservare che $\frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}} \to 1$ per $t \to 0$ per un limite notevole
Per il resto è corretto, devi solo verificare che la funzione sia a termini positivi, ma in un intorno destro dello $0$ lo è.

Per l'ultimo punto ricorda puoi anche semplicemente ricordare che $\int_0 ^c \frac{1}{|x|^p}$ converge per ogni $p < 1$

per ultimo punto intendi la derivabilità di f(x)?

quindi per verificare che la funzione sia a termini positivi, in un intorno destro dello $ 0 $

invece di studiare $ f(t)= \int_{1}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c $

sostituisco l'integranda con ? $ \int_0 ^c \frac{1}{|x|^p} $ domanda: come giustifico tale scelta, come mai hai preso proprio questo integrale?

fatto ciò l'esercizio si può definire concluso?

Nono, per verificare che è a termini positivi, basta notare che il seno lo è in un intorno destro dello $0$. Quello che ho scritto sotto era in riferimento all'integrale che hai calcolato dopo. Era per dire: non c'è bisogno di calcolarlo esplicitamente, in genere gli integrali del tipo $\int \frac{1}{|x|^p}$ ci si ricorda quando convergono (nel tuo caso è $p=1/2$), ma va bene anche come hai fatto tu ovviamente. Era solo un'aggiunta

Ricapitolando ragazzi questa risposta che vi scrivo così come la scrivo è una risposta al questo rigorosa e corretta?

quesito: Stabilire se esiste una funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0

Passo 1
si tratta di capire se è definita $ f(t)= \int_{0}^{x} \(sin\sqrt{t})/t +c $ per poi determinare c in modo che la seconda condizione sia soddisfatta
infatti
osservo che $ (sen sqrt (t))/t $ è asintoticamente equivalente a $ 1/sqrt(t) $ per t che tende a 0+ (come mi avete suggerito)
infatti
il $ lim_{t=0+} (sen sqrt (t))/t $=...... (uso Hopital)...= infinito

$ lim_{t=0+}/sqrt(t) $ = infinito

$ 1/sqrt(t) $ ha integrale improprio convergente, infatti calcolando una primitiva $ \int 1/sqrt(t)= $ ottengo $ 2sqrt(t)+c $
quindi l'integrale converge in 0+

Paso 2

$ f(2)=2f(1) $
$ f'(x)=(sen sqrt(x))/x $

$ \int_{x0}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c $ ve ne sono infinite ne scelgo una
$ f(2)= 2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt+c] $ dove gli estremi di integrazione sono f(1)=1 e f(2)=2

trovo c $ c=-2[\int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt] $

pertanto la funzione continua $f:[0,+ \infty )$ in R derivabile in $(0, + \infty )$ tale che $f(2)= 2f(1)$ e
$f'=\frac{sin\sqrt{x}}{x} $ per ogni x>0
risulta essere
$ f(x)= \int_{1}^{x} ((sen\sqrt{t})/t)dt -2 \int_{1}^{2} ((sen\sqrt{t})/t)dt $

Questa soluzione è ineccepibilmente corretta? è dimostrata con sufficiente rigore o ci manca qualcosa?

Grazie mille;)

La funzione è sbagliata, poiché soddisfa \(f(1) = 2 f(2)\).
Quella giusta l'ho scritta alcuni post fa.
Per il resto, senza farla tanto lunga, basta osservare che \(\frac{\sin\sqrt{x}}{x} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}\) per \(x\to 0^+\), dunque per il criterio del confronto asintotico l'integrale improprio è convergente in \((0, 1)\), da cui segue che \(f\) è definita e continua anche in \(0\).