Problemi con serie di Laurent
Inviato: 20/01/2017, 13:59
Salve ragazzi, è il mio primo messaggio nel Forum, quindi vi prego non linciatemi se dico qualche castroneria!
Sto studiando Fisica Matematica e nel compito scritto proposto dal mio professore ci sono le solite cose...
Ho già utilizzato da visitatore il forum per imparare un po' a scrivere la Serie di Laurent di una funzione, ma in questo caso mi sto trovando un po' in difficoltà. La funzione proposta è:
$ f(z) = (sen (z))/(z^3(z-4)) $
Ovviamente lo studio delle singolarità mi porta innanzitutto a capire che z=0 e z=4 sono poli, rispettivamente del secondo e del primo ordine. Il proseguio dell'esercizio mi porta a calcolare i residui della funzione in tali punti.
Per quanto riguarda il polo semplice è abbastanza immediato (utilizzo la formula con il limite ed è fatta), trovo un po' di difficoltà nell'eseguire il calcolo per il polo doppio.
Sono già arrivato alla soluzione utilizzando appunto la formula:
$ lim_(x -> 0) d/dz (f(z)*z^2) $
Ma essendo risultato alquanto lungo il calcolo tramite derivate ho voluto provare con la Serie di Laurent.
Sono arrivato a questo:
$ f(z) = 1/((z^3)(z-4))*sum_(n = \0) (-1)^n*z^(2n+1)/((2n+1)!) $
Andando poi a imporre che |z| < 4, ed utilizzando lo sviluppo della serie geometrica trovo:
$ f(z) =[sum_(n = \0)(-1)^n*z^(2n-2)/((2n+1)!)]*(-1)*[sum_(n = \0)(z^n)/(4^(n+1))] $
Diciamo che andando a sviluppare i primi termini del prodotto tra sommatorie arrivo a trovare i valori ricercati e quindi il Residuo di f(z) in 0, ma mi pare un procedimento alquanto contorto e vorrei capire se sto sbagliando qualcosa o come posso semplificare il tutto!
Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille in anticipo!
Sto studiando Fisica Matematica e nel compito scritto proposto dal mio professore ci sono le solite cose...
Ho già utilizzato da visitatore il forum per imparare un po' a scrivere la Serie di Laurent di una funzione, ma in questo caso mi sto trovando un po' in difficoltà. La funzione proposta è:
$ f(z) = (sen (z))/(z^3(z-4)) $
Ovviamente lo studio delle singolarità mi porta innanzitutto a capire che z=0 e z=4 sono poli, rispettivamente del secondo e del primo ordine. Il proseguio dell'esercizio mi porta a calcolare i residui della funzione in tali punti.
Per quanto riguarda il polo semplice è abbastanza immediato (utilizzo la formula con il limite ed è fatta), trovo un po' di difficoltà nell'eseguire il calcolo per il polo doppio.
Sono già arrivato alla soluzione utilizzando appunto la formula:
$ lim_(x -> 0) d/dz (f(z)*z^2) $
Ma essendo risultato alquanto lungo il calcolo tramite derivate ho voluto provare con la Serie di Laurent.
Sono arrivato a questo:
$ f(z) = 1/((z^3)(z-4))*sum_(n = \0) (-1)^n*z^(2n+1)/((2n+1)!) $
Andando poi a imporre che |z| < 4, ed utilizzando lo sviluppo della serie geometrica trovo:
$ f(z) =[sum_(n = \0)(-1)^n*z^(2n-2)/((2n+1)!)]*(-1)*[sum_(n = \0)(z^n)/(4^(n+1))] $
Diciamo che andando a sviluppare i primi termini del prodotto tra sommatorie arrivo a trovare i valori ricercati e quindi il Residuo di f(z) in 0, ma mi pare un procedimento alquanto contorto e vorrei capire se sto sbagliando qualcosa o come posso semplificare il tutto!
Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille in anticipo!