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Negli ultimi giorni stavo pensando a una cosa, se io ho una funzione $f:[a,b]->RR|f(x)>0AAx\in[a,b]$, e so che questa funzione è limitata e (Riemann-)integrabile, posso dire che il suo integrale è positivo? Io direi assolutamente di si, ma non mi viene in mente come dimostrarlo, forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma mi serve il vostro aiuto per uscirne.

Gli integrali (di Riemann, ma è una proprietà piu generale) sono monotoni: significa che se $f \ge g$ allora \(\int_{[a,b]} f \ge \int_{[a,b]} g\). Siccome poi l'integrale della funzione nulla è zero...

Questo lo so, ma in quella proprietà c'è il $>=$, nel mio caso solo il $>$, quindi arrivo a dimostrare il quel modo una cosa più debole di quella che mi interessa.

Idea che forse può aiutare ma alla quale non ho pensato più di tanto. Se $f$ è positiva allora puoi trovare un $\epsilon >0$ t.c. $f(x) \ge \epsilon$ per ogni $x \in I_{\epsilon} \subset [a,b]$. Poi

$\int_a^b f(x)dx \ge \int_{I_{\epsilon}} f(x) dx \ge \int_{I_{\epsilon}}\epsilon dx = \epsilon (b-a) > 0 $

Eh ma come fai a dire che $EE\epsilon>0$ t.c. $f(x)>\epsilonAAx$?

Ho detto che quella cosa è vera in un sottoinsieme di $ [a,b]$, non dappertutto.
Comunque è vera per forza mi sa: se non fosse vero allora in tale intervallo sarebbe $f(x) \le \epsilon $ per ogni $\epsilon >0$ ma questo implica $f(x) \le 0$...

In realtà non è vera per forza, perché se si nega la tesi si ottiene che $AAI\sub[a,b]$ sottointervallo $AA\epsilon>0EEx\inI:f(x)<\epsilon$, non è mica detto che sia vero in tutto l'intervallo.

Ci ho pensato un po' su. Come conseguenza del teorema di Lebesgue-Vitali si ha che $f$ deve essere continua in un qualche punto $x_0 \in [a,b]$. Allora si ha che $ \forall \epsilon >0 \quad \exists \delta_{\epsilon}>0 : 0<|x-x_0|< \delta \Rightarrow f(x_0)- \epsilon <f(x) < f(x_0) + \epsilon $

Tutto ciò vale per ogni $\epsilon$ e dunque anche per $\epsilon_0 = f(x_0)/2$ dunque

$\int_a^b f(x) dx \ge \int_{x_0-\delta_{\epsilon_0}}^{x_0 + \delta_{\epsilon_0}} \epsilon_0 dx >0$

In effetti il teorema di Lebesgue-Vitali non mi era proprio venuto in mente (non avendolo ancora studiato), ma direi che risolve la situazione egregiamente! Grazie mille|

Riesumo questo post perché volevo chiedere una cosa strettamente collegata con la discussione precedente, la domanda è sostanzialmente la stessa, solo che al posto dell'integrale di Riemann c'è l'integrale di Lebesgue che sto studiando in questo periodo.
Non sono sicuro che funzioni anche per l'integrale di Lebesgue, ma sicuramente non vale la stessa dimostrazione, infatti ci sono funzioni integrabili alla Lebesgue discontinue ovunque (funzione di Dirichlet).