Esercizi funzioni (inverse, simmetrie, iniettività...)
Inviato: 06/04/2024, 14:39
Ciao a tutti, ho svolto i seguenti esercizi mi potreste dare, per favore, un vostro parere/aiuto?
Nel primo esercizio mi viene chiesto di verificare l'iniettività, la suriettività, l'inversa e determinarne l'immagine della seguente funzione definita in $f: [+, +infty) -> (0, +infty)$:
$f(x) = e^(|x|-1)$
Il grafico della funzione è una parabola con il vertice nel punto di coordinate $(0, 1/e)$ quindi non è ne suriettiva ne iniettiva ma poichè è definita solo in $R^+$ allora diventa iniettiva in quanto non prendo in considerazione il secondo quadrante.
Se non ci fosse questa limitazione, avrei una funzione pari quindi per definizione non iniettiva.
Suriettiva lo diventa se limitiamo la sua immagine ai valori $[1/e, +infty)$
Per confermare l'iniettivita pongo $e^(|x_1|-1) = e^(|x_2|-1)$ ottenendo $|x_1|-1 = |x_2|-1$
Quindi ottengo il sistema $x_1-1 = x_2-1 vv x_1-1 = -x_2-1$ ottenendo da una parte $x_1 = x_2 vv x_1 = -x_2$ Poichè prendo in considerazione solo i valori positivi l'iniettività è confermata.
Calcolo la funzione inversa di $y = e^(|x|-1)$ ed ottengo
$logy=|x|+1$
$logy-1=|x|$
$x=+-log(y)-1$
Cosa ne pensate?
I successivi esercizi mi chiedono di verificare le simmetrie delle seguenti funzioni:
$f(x)=xe^x$ e $f(x)=(xsenx)/(1+x^2)$
Una funzione è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle y, se $f(x)=f(-x)$.
Sostituisco alla $x$ il termine $-x$ ed ottengo $f(-x)=-xe^-x$ che è uguale a $-x 1/e^x$
La funzione quindi non è pari in quanto $f(x)!=f(-x)$
Per la disparità invece $f(-x)=-f(x)$ ma anche in questo caso $-xe^x!=-x1/e^x$
Per la seconda funzione ho invece qualche difficoltà in più. Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali in quanto al denominatore ho una quantità sempre positiva.
$f(x)=f(-x)$ --> $f(x)=(xsenx)/(1+x^2) = (-xsen(-x))/(1+(-x)^2)$
Al denominatore la condizione è rispettata in quanto c'è una potenza pari ma non capisco come dimostrare con i calcoli per il numeratore che la funzione è pari, potreste darmi qualche suggerimento?
Grazie
Nel primo esercizio mi viene chiesto di verificare l'iniettività, la suriettività, l'inversa e determinarne l'immagine della seguente funzione definita in $f: [+, +infty) -> (0, +infty)$:
$f(x) = e^(|x|-1)$
Il grafico della funzione è una parabola con il vertice nel punto di coordinate $(0, 1/e)$ quindi non è ne suriettiva ne iniettiva ma poichè è definita solo in $R^+$ allora diventa iniettiva in quanto non prendo in considerazione il secondo quadrante.
Se non ci fosse questa limitazione, avrei una funzione pari quindi per definizione non iniettiva.
Suriettiva lo diventa se limitiamo la sua immagine ai valori $[1/e, +infty)$
Per confermare l'iniettivita pongo $e^(|x_1|-1) = e^(|x_2|-1)$ ottenendo $|x_1|-1 = |x_2|-1$
Quindi ottengo il sistema $x_1-1 = x_2-1 vv x_1-1 = -x_2-1$ ottenendo da una parte $x_1 = x_2 vv x_1 = -x_2$ Poichè prendo in considerazione solo i valori positivi l'iniettività è confermata.
Calcolo la funzione inversa di $y = e^(|x|-1)$ ed ottengo
$logy=|x|+1$
$logy-1=|x|$
$x=+-log(y)-1$
Cosa ne pensate?
I successivi esercizi mi chiedono di verificare le simmetrie delle seguenti funzioni:
$f(x)=xe^x$ e $f(x)=(xsenx)/(1+x^2)$
Una funzione è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle y, se $f(x)=f(-x)$.
Sostituisco alla $x$ il termine $-x$ ed ottengo $f(-x)=-xe^-x$ che è uguale a $-x 1/e^x$
La funzione quindi non è pari in quanto $f(x)!=f(-x)$
Per la disparità invece $f(-x)=-f(x)$ ma anche in questo caso $-xe^x!=-x1/e^x$
Per la seconda funzione ho invece qualche difficoltà in più. Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali in quanto al denominatore ho una quantità sempre positiva.
$f(x)=f(-x)$ --> $f(x)=(xsenx)/(1+x^2) = (-xsen(-x))/(1+(-x)^2)$
Al denominatore la condizione è rispettata in quanto c'è una potenza pari ma non capisco come dimostrare con i calcoli per il numeratore che la funzione è pari, potreste darmi qualche suggerimento?
Grazie