Metodo di sostituzione per integrali trigonometrici

Messaggioda FELPONE » 15/05/2010, 19:22

Ciao ragazzi, la prof. ci ha spiegato due metodi per la risoluzione di integrali trigonometrici ve li esplicito e poi vi spiego il mio dubbio:

Il primo si usa in integrali con rapporti del tipo : $ (14 sin^3x -2sin x)/(sinx cosx) $

in questo caso si userebbe $ t=tan (x / 2) $ e si sostituirebbero $ sinx=(2t)/(1+t^2) $ e $ cosx=(1-t^2)/(1+t^2) $

Il secondo metodo si usa con integrali di rapporti del tipo: $ sin^2x,cos^2x,sinxcosx,tanx $

in questo caso si userebbe $ t=tanx $ e si sostituirebbero $ cos^2x=1/(t^2+1) $ e $ sin^2x=(t^2)/(1+t^2) $.

Non riesco a capire come sostituire,infatti come nel primo esempio abbiamo una situazione ibrida e poi non saprei calcolare dt.

Se avete anche qualche link che spieghi bene queste sostituzioni.
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Messaggioda gugo82 » 16/05/2010, 02:34

In generale la sostituzione [tex]$t=\tan \frac{x}{2}$[/tex] funziona per tutti gli integrali di funzioni razionali di [tex]$\cos x$[/tex] e [tex]$\sin x$[/tex]; insomma, [tex]$t=\tan \frac{x}{2}$[/tex] è la sostituzione standard da usare sempre (quindi anche nel tuo caso).

Se però l'integrando è una funzione razionale di [tex]$\sin^2 x$[/tex], [tex]$\cos^2 x$[/tex], [tex]$\sin x\cos x$[/tex], [tex]$\tan x$[/tex] e [tex]$\cot x$[/tex] allora, anziché usare la sostituzione standard illustrata sopra, si possono semplificare i conti usando la sostituzione [tex]$t=\tan x$[/tex]; quindi [tex]$t=\tan x$[/tex] è una sostituzione semplificativa che funziona solo in alcuni casi (ed in particolare, non funziona nel tuo caso!).

Ad esempio, consideriamo il caso (semplicissimo) dell'integrale [tex]$\int \tan x \ \text{d} x$[/tex]; visto che [tex]$\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$[/tex] e che [tex]$D[\cos x] =-\sin x$[/tex], si trova immediatamente che l'integrale è [tex]$-\ln |\cos x| +c$[/tex].
Proviamo a svolgerlo con le due sostituzioni:

1) sostituzione standard [tex]$t=\tan \frac{x}{2}$[/tex]: abbiamo:

[tex]$\int \tan x \ \text{d} x =\int \frac{\sin x}{\cos x} \ \text{d} x = \int \frac{2t}{1+t^2}\ \frac{1+t^2}{1-t^2} \ \frac{2}{1+t^2} \ \text{d} t =\int \frac{2t}{(1-t^2)(1+t^2)} \ \text{d} t$[/tex]...

Qui arriviamo ad un punto in cui bisogna fare tanti conti per scomporre l'ultimo integrando in fratti semplici ed integrare; però l'integrale si può risolvere (con un po' di olio di gomito), quindi la sostituzione funziona.

2) sostituzione semplificativa [tex]$t=\tan x$[/tex]: troviamo:

[tex]$\int \tan x \ \text{d} x = \int t\ \frac{1}{1+t^2} \ \text{d} t =\frac{1}{2} \ \ln |1+t^2| +c=\frac{1}{2} \ \ln |\cos^{-2} x|+c =-\ln |\cos x|+c$[/tex],

semplice semplice.

Il fatto che la soluzione semplificativa non risulti sempre utile deriva dal fatto che non c'è nessuna relazione razionale che si può stabilire tra [tex]$\sin x$[/tex] e [tex]$\cos x$[/tex] e [tex]$t=\tan x$[/tex]: infatti le uniche relazioni che legano tali funzioni sono del tipo:

[tex]$\cos x=\pm \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$[/tex] e [tex]$\sin x=\pm \sqrt{\frac{t^2}{1+t^2}}$[/tex]

sicché, se le funzioni [tex]$\cos x$[/tex] e [tex]$\sin x$[/tex] non appaiono elevate a potenze pari sotto il segno d'integrale, usando la sostituzione semplificativa c'è il rischio di inserire nell'integrale dei radicandi che complicano solo le cose.
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Messaggioda FELPONE » 16/05/2010, 10:00

Grazie sei stato chiarissimo!
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Re: Metodo di sostituzione per integrali trigonometrici

Messaggioda FELPONE » 16/05/2010, 10:57

FELPONE ha scritto:Ciao ragazzi, la prof. ci ha spiegato due metodi per la risoluzione di integrali trigonometrici ve li esplicito e poi vi spiego il mio dubbio:

Il primo si usa in integrali con rapporti del tipo : $ (14 sin^3x -2sin x)/(sinx cosx) $

in questo caso si userebbe $ t=tan (x / 2) $ e si sostituirebbero $ sinx=(2t)/(1+t^2) $ e $ cosx=(1-t^2)/(1+t^2) $

Il secondo metodo si usa con integrali di rapporti del tipo: $ sin^2x,cos^2x,sinxcosx,tanx $

in questo caso si userebbe $ t=tanx $ e si sostituirebbero $ cos^2x=1/(t^2+1) $ e $ sin^2x=(t^2)/(1+t^2) $.

Non riesco a capire come sostituire,infatti come nel primo esempio abbiamo una situazione ibrida e poi non saprei calcolare dt.

Se avete anche qualche link che spieghi bene queste sostituzioni.


Quindi in questo caso riportato da me dove c'è un seno elevato alla terza devo elevare alla terza anche la sostituzione che effettuo?
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Messaggioda K.Lomax » 16/05/2010, 12:57

Ma non sarebbe più semplice notare che

[tex]\displaystyle\frac{14\sin^3x-2\sin x}{\sin x\cos x}=\frac{14\sin^2x-2}{\cos x}=\frac{14\sin^2x-14+12}{\cos x}=[/tex]

[tex]\displaystyle=-14\frac{1-\sin^2x}{\cos x}+12\frac{1}{\cos x}=-14\cos x+12\frac{1}{\cos x}[/tex]

?
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Re: Metodo di sostituzione per integrali trigonometrici

Messaggioda Matt91 » 10/05/2013, 10:25

Ragazzi scusate la mia "bacatezza" , ma posso capire come si arriva al fatto che :
$t=tan (x/2)$ nel caso del $sin (x) , cos (x)$ e $tan(x)$ ?
Non riesco a capire come sostituendo si arrivi a quelle formule...
Cosa devo sostituire?
Grazie come sempre. :)
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Re: Metodo di sostituzione per integrali trigonometrici

Messaggioda gugo82 » 10/05/2013, 11:40

@ Matt91: Cosa non capisci di preciso?
Come si ottengano le relazioni che esprimono \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\) in funzione di \(t\)?
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Re: Metodo di sostituzione per integrali trigonometrici

Messaggioda Matt91 » 13/05/2013, 17:25

Si , esattamente. :(
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Messaggioda Gi8 » 13/05/2013, 17:32

Dimostro che $sin(x)= (2t)/(1+t^2)$ (dove naturalmente $t= tan(x/2)$).

Sappiamo che $sin(x)= 2 sin(x/2) cos(x/2)$ (è la formula di duplicazione del seno)

Ora sfruttiamo il fatto che $cos^2(x/2)+sin^2(x/2)=1$ (relazione fondamentale):

$sin(x)= [2 sin(x/2) cos(x/2)]/[cos^2(x/2)+sin^2(x/2)]$

Ora dividiamo numeratore e denominatore per $cos^2(x/2)$, ottenendo
$sin(x)= [2 * (sin(x/2))/(cos(x/2)) ]/[ 1+ (sin^2(x/2) )/(cos^2(x/2) )]= (2t)/(1+t^2)$


Se hai dei dubbi su qualcosa, chiedi pure :-)
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Re: Metodo di sostituzione per integrali trigonometrici

Messaggioda Matt91 » 14/05/2013, 09:46

Esaudienti come sempre! :)
Per ora non ho dubbi, e ti ringrazio fortemente Gi8! :)
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