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bene. quindi se segui i consigli di Thiezar arrivi facilmente alla conclusione.
nota però che anche il punto B allora è interno al dominio, quindi devi considerare tutti i punti che hai ricavato "annullando" il gradiente, tutti i punti di vertice e i punti stazionari sulle tre rette. confronta questi punti e otterrai delle risposte.

scusa non ho capito...

il valore della funzione nel punto B l'ho calcolato ed è $-32/27$ .

nei 3 vertici il valore della funzione è 0.

Thiezar parlava di vedere se il gradiente era perpendicolare al dominio...che significa? come si fa?

raga qualcuno mi puo' aiutare in quest'ultimo passo?? grazie

Visto che sei in estrema difficoltà ti spiego bene come risolvere l'esercizio. Quella storia del gradiente perpendicolare al dominio è vera ma (almeno per me) difficile da verificare se il gradiente e il dominio non si presentano in forme semplici.

tenendo presente che abbiamo stabilito che il triangolo ha vertici $ O=(0,0) $ $ P=(2,2) $ $ Q=(2,-2) $, e che i punti in cui il gradiente si annulla sono
$ A=(0,0) $ $ B=(4/3,0) $ $ C=(2,2) $ $ D=(2,-2) $
possiamo subito notare che i punti A B e D corrispondono esattamente ai vertici del triangolo che come sappiamo sono sempre punti stazionari. Per la cronaca in questo caso la funzione $ f(x,y) $ in questi 3 punti vale 0.
Il punto B è interno al dominio (infatti $4/3<2$ quindi questo punto si trova praticamente al centro del triangolo) ela funzione nel punto B vale $ -32/27 $.
Altri punti critici sono da ricercare sulla frontiera del dominio.
Osserviamo bene la funzione: $ f(x,y)=(x^2-y^2)(x-2)$
- prendiamo in considerazione il lato del triangolo tra P e Q e notiamo che x vale sempre 2. Se x vale sempre 2 il fattore destro della funzione $ (x-2) $ diventa 0 annullando la funzione, quindi su tutto questo lato la funzione vale 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra P e O. Questo è un segmento inclinato di 45°. Per ottenere questa angolazione i valori di x e y devono essere sempre uguali quindi $y=x$. Se questi valori sono sempre uguali la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $ darà come risultato sempre 0 annullando tutta la funzione. Quindi anche su questo lato la funzione vale sempre 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra Q e O. Questo segmento è come quello di prima ma specchiato. Significa che in questo caso $ y=-x $. Ma anche in questo caso la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $darà come risultato sempre 0 a causa dell'elevazione al quadrato. Anche su questo lato la funzione vale sempre 0.

Possiamo concludere che su tutta la frontiera compresi i vertici la funzione vale $ 0 $ mentre nel punto B vale $ -32/27 $. Beh, è facile vedere che questi due valori sono rispettivamente il MASSIMO e il MINIMO.

chiarissimo!!!! grazie mille