Def. precompattezza

Messaggioda DavideGenova » 21/11/2014, 16:47

Cia, amici! Gli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin definiscono
un insieme $M$, appartenente a uno spazio topologico $T$ [...] precompatto (o spazio $T$ relativamente compatto) se la sua chiusura in $T$ è compatta. Analogamente, $M$ si dice precompatto numerabile in $T$ se ogni sottoinsieme infinito $A\subset M$ ha almeno un punto limite (che può appartenere o meno a $M$).
In tale definizione suppongo che punto limite, termine mai definito ( :roll: ) nel testo ed usato qui e là per diverse cose che direi in generale non coincidenti (apparentemente punto di accumulazione, punto di aderenza, punto che è limite di una sottosuccessione), sia da intendersi nel senso di punto di accumulazione. Giusto?
Tuttavia il Kolmogorov-Fomin (nella traduzione italiana e nell'originale russo, mentre la trad. inglese del Silverman definisce limit point come punto di accumulazione) mi sembrerebbe usare il termine punto limite prevalentemente nel senso di punto di aderenza. Sarà mica che la definizione di precompattezza numerabile del sottoinsieme $M\subset T$ come "ogni sottoinsieme infinito $A\subset M$ ha almeno un punto di accumulazione (che può appartenere o meno a $M$)" e "ogni sottoinsieme infinito $A\subset M$ ha almeno un punto di aderenza (che può appartenere o meno a $M$)" siano equivalenti?
$\infty$ grazie per ogni delucidazione!

EDIT: mi era scappato un "$T$" fuori contesto all'inizio: cancellato.
Ultima modifica di DavideGenova il 22/11/2014, 17:36, modificato 1 volta in totale.
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Re: Def. precompattezza

Messaggioda Pappappero » 22/11/2014, 04:54

Ma l'unica differenza tra punto di aderenza e punto di accumulazione e' che se $x_0$ e' punto di accumulazione per $M$, allora ogni intorno di $x_0$ contiene punti di $M$ diversi da $x_0$ mentre nel caso del punto di aderenza non si richiede che i punti appartengano a $M$. Dico bene?

Credo che punto limite significhi in generale punto di aderenza: in effetti, un punto limite per $M$ e' un punto che e' limite di una successione in $M$; se in particolare tale punto sta in $M$ e' limite della successione costante. Tale definizione pero' non ha senso in questo caso perche' ovviamente ogni insieme non vuoto trova un punto di aderenza in ogni suo punto. Quindi certamente i due concetti non sono equivalenti, e credo che in questo caso ci si riferisca a punto limite nel senso di punto di accumulazione.

Tuttavia, in topologia spesso un'insieme infinito va spesso letto come "un insieme che contiene una successione": in questo caso quindi leggerei "sottoinsieme infinito $A \subset M$ ha almeno un punto limite" come "ogni successione di $A$ ha un'estratta convergente (non importa se il limite e' o meno contenuto $A$).

Concludo con un suggerimento: per quanto sia affascinante studiare su testi classici, la lingua matematica si evolve e diventa piu' precisa molto velocemente e leggere testi classici per imparare le basi di qualcosa puo' essere molto difficile. Per quanto la topologia non abbia una vera e propria evoluzione da decenni, suggerirei di affiancare il testo classico a un buon libro non troppo vecchio: parlando di topologia generale il buon costosissimo Munkres farebbe certamente il suo mestiere; in italiano, e a suo modo certamente classico, il Checcucci Tognoli Vesentini e' un libro eccezionale, ricco di esempi e se ricordo bene anche di esercizi (forse non troppo profondo per certi versi, ma le basi ci sono tutte - diciamo che non si perde su cose troppe patologiche, cosa che invece a volta capita al Munkres).
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Messaggioda j18eos » 22/11/2014, 16:33

Pappappero ha scritto:Ma l'unica differenza tra punto di aderenza e punto di accumulazione e' che se $x_0$ e' punto di accumulazione per $M$, allora ogni intorno di $x_0$ contiene punti di $M$ diversi da $x_0$ mentre nel caso del punto di aderenza non si richiede che i punti appartengano a $M$. Dico bene?...
No!, un punto di accumulazione \(\displaystyle x_0\) si defnisce di aderenza per \(\displaystyle M\) se ogni intorno di \(\displaystyle x_0\) non è disgiunto da \(\displaystyle M\).

@Davide La traduzione attuale di limit point sarebbe punto di accumulazione; un insieme (non vuoto) \(\displaystyle A\) può avere il derivato \(\displaystyle A^{\prime}\) (l'insieme dei suoi punti di accumulazione) vuoto, ciò ti tornerebbe anche nella definizione di precompatto numerabile.

Edit: Mi è scappato un errore!
Ultima modifica di j18eos il 22/11/2014, 20:38, modificato 1 volta in totale.
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Re: Def. precompattezza

Messaggioda DavideGenova » 22/11/2014, 17:36

Grazie a tutti e due!!!!
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