Dimostrazione di una Base...

[klodette89]

Devo dimostrare quanto segue:
Sia $X!=0$ un insieme, $K$ un corpo, $V={f | f : X \to K}$
Per $x_0 in X $ sia
$\chi_(x_0) : X \to K$ , $\chi_(x_0)(x) :=\{(1_K, x=x_0) , (0_K, x!=x_0):}$

Dimostrare la doppia implicazione: $|X|< \infty \Leftrightarrow T={\chi_(x_0) | x_0 in X}$ è una base di $V$ .

Anche un aiuto, qualche idea, qualche supposizione...accetto volentieri!

[billyballo2123]

Supponiamo che $|X|<\infty$, cioè $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Data una qualunque $f\in V$, definiamo $\alpha_j=f(x_j)$ per ogni $j=1,\ldots,n$. Si ha allora che
\[
f=\alpha_1\chi_{x_1}+\ldots+\alpha_n \chi_{x_n},
\]
dunque $T$ è una base di $V$.

Viceversa, se supponiamo che $|X|=\infty$, scegliamo $a\in K$ tale che $a\ne 0$. Definita $f\in V$ come $f(x)=a$ per ogni $x\in X$, allora per ogni sottoinsieme finito $S=\{x_1,\ldots,x_n\}$ di $X$, esiste un $x_0\in X$ che non sta in $S$, dunque qualunque combinazione lineare degli elementi di $S$ è nulla in $x_0$, ovvero definita $g\in V$ come
\[
g(x)=\beta_1\chi_{x_1}(x)+\ldots+\beta_n\chi_{x_n}(x)
\]
con $\alpha_j\in K$ per ogni $j=1,\ldots,n$, si ha che
\[
g(x_0)=\beta_1\chi_{x_1}(x_0)+\ldots+\beta_n\chi_{x_n}(x_0)
\]
(perché $\chi_{x_j}(x_0)=0$ per ogni $j=1,\ldots,n$). Dunque $0=g(x_0)\ne f(x_0)=a$, e pertanto $T$ non può essere una base di $V$.