Base in F7[x]

[klodette89]

Buongiorno a tutti..
Ho un quesito:
devo trovare la base di alcuni sottospazi vettoriali un pò "insoliti": $W=<x^2+2 , 2x^3-x^2 , 2x^3-5>_(F_7) sub F_7[x]$

Siccome ci sono le parentesi "<...>" questo vuol dire che lo spazio è generato da quei tre polinomi, giusto?
Quindi la base sarebbe $B_W ={ x^2+2 , 2x^3-x^2 , 2x^3-5}$ ??? E il fatto che sia in $F_7$ come posso farlo vedere?

Poi c'è quest'altro sottospazio $T={f | f(x)=0$ $ per $ $x notin {1,2,\pi} } sub V={f | f :RR \to RR}$. Per questo sottospazio non ho idea di quali possano essere le funzioni generatrici..

Anche solo un aiutino...

[j18eos]

...Quindi la base sarebbe $ B_W ={ x^2+2 , 2x^3-x^2 , 2x^3-5} $ ???...

No!, inizia a notare che:
\[
W\subseteq\langle1,x,x^2,x^3\rangle
\]
quali sono le coordinate di quei vettori rispetto al sistema libero considerato al rigo di sopra?

Se non sono chiaro, non ti vergognare di domandare!

[klodette89]

Per ricavarne le coordinate dovrei mettere a sistema i vettori $x^2+2, 2x^3-x^2,2x^3-5$ ?

[j18eos]

Ma no!

E.g.: \(\displaystyle x^3-4x^2+2\) ha coordinate \(\displaystyle(1,-4,0,2)=(1,3,0,1)\) rispetto al riferimento (vettoriale) \(\displaystyle(x^3,x^2,x,1)\)!

[klodette89]

Le coordinate sono:
$(2,0,1,0), (0,0,-1,2), (-5,0,0,2)$ rispetto al rif. $(1,x,x^2,x^3)$

[j18eos]

Ora che fai per capire se quei vettori sono lin. ind.?

Ragiona come se tu fossi su \(\displaystyle\mathbb{R}\) (o \(\displaystyle\mathbb{C}\)).

[klodette89]

Devo verificare che la combinazione lineare dei vettori sia =0 per $\lambda_i$ tutti $=0$ . Giusto?
Ma mettendo a sistema trovo che, in $F_7$, ho un $7\lambda =0$ ma questo vuol dire che il $\lambda$ può essere un qualsiasi valore poichè l'uguaglianza con 0 la ottengo dal fatto che $\bar 7$ $=\bar 0$.
Dico bene=

[j18eos]

Quella è la maniera bruta; e comunque, facendo i calcoli otterresti che non sono lin. ind. e non capiresti quanti sono lin. indip.

La maniera più semplice è studiare il rango della matrice (a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{F}_7\)) ottenuta con i vettori che hai trovato!

[klodette89]

si, il metodo del rango è quello più usato ma, siccome non è stato ancora trattato l'argomento "rango", ho usato il metodo "bruto"....

[j18eos]

Se usi il metodo bruto, trovi (facilmente) solo che quei vettori non sono lin. ind.; per cui hai che la dimensione è al massimo \(\displaystyle2\): confermi?