Scrivere equazioni di un sottospazio nella base naturale!

da **marcoopsone** » 23/11/2014, 13:11

Salve a tutti, è Domenica ma avrei bisogno di un piccolo aiuto...
Avranno fatto mille volte questa domanda e io per mille volte non ho capito bene le risposte...sarò ignorante! :?:

Ho questo esercizio:

Si considera il sottospazio di $RR^4$:

$\displaystyle U = [(1,1,0,0),(0,-2,0,0),(2,0,0,0),(3,-1,0,1)] $

Scrivere le equazioni di $\displaystyle U $ nella base naturale di $RR^4$.

Per piacere spiegatemi come risolvere questi tipi di esercizi. Non so proprio da dove iniziare.

Penso che base naturale o base canonica sia la stessa cosa!! :?:

da **minomic** » 23/11/2014, 18:56

Ciao,
tu hai i seguenti vettori:
\[
\begin{bmatrix}
1\\1\\0\\0
\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}
0\\-2\\0\\0
\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}
2\\0\\0\\0
\end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix}
3\\-1\\0\\1
\end{bmatrix}
\] Affianchiamoli in una matrice ed aggiungiamo il generico vettore $\begin{bmatrix}x&y&z&t\end{bmatrix}^T$
\[
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&3&x\\1&-2&0&-1&y\\0&0&0&0&z\\0&0&0&1&t
\end{array}
\right]
\]
Quello che vogliamo è che l'ultima colonna sia linearmente dipendente dalle prime quattro. Applichiamo la riduzione di Gauss:
\[
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1&0&2&3&x\\0&-2&-2&-4&y-x\\0&0&0&0&z\\0&0&0&1&t
\end{array}
\right]
\] A questo punto la matrice "incompleta" ha rango $3$ e vogliamo che anche la completa abbia rango $3$. Notiamo che il terzo pivot della "incompleta" è nullo, quindi imponiamo $z=0$. Questa è la nostra equazione. In generale, dobbiamo annullare i termini nel vettore di destra che corrispondono a righe tutte nulle della matrice di sinistra.