tensori

[Lorentz1]

ciao a tutti, sono uno studente di fisica.
pur avendo piuttosto chiara la definizione di prodotto tensoriale e le sue varie proprietà elementari, non riesco a capire una cosa. Faccio un esempio per spiegarmi: se ho un prodotto scalare io so che posso associargli una matrice quadrata che sarà una particolare matrice a seconda di come è fatto questo prodotto scalare. La stessa cosa vale per il prodotto tensoriale?In altre parole: ha senso chiedersi in che modo agisce il prodotto tensoriale su una coppia di vettori, così come ha senso dirlo per il prodotto scalare?
Grazie a tutti

[Pappappero]

Non sono sicuro di capire la domanda.

Il prodotto scalare e il prodotto tensore sono oggetti completamente diversi. In effetti direi che si chiamano entrambi prodotto giusto per una casualita' (o almeno, per ragioni completamente diverse).

Il prodotto scalare e' una mappa (bilineare, simmetrica, definita positiva, poco importa) che manda una coppia di vettori in un numero.

Il prodotto tensore e' un oggetto universale, che associa ad una coppia di vettori $v \in V$ e $w \in W$ un altro vettore $v \otimes w$ che vive in uno spazio enorme $V \otimes W$. La funzione $\otimes: V \times W \to V \otimes W$ e' bilineare ma il codominio e' uno spazio vettoriale, quindi non c'e' una matrice associata (almeno, non naturalmente).

Detto questo: ha senso chiedersi in che modo agisce il prodotto tensoriale su una coppia di vettori? Si...se ad esempio $V$ e' uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e fissi una base $e_1, ... ,e_n$ e $W$ e' uno spazio vettoriale di dimensione $m$ e fissi una base $f_1, ... , f_m$, allora puoi chiederti cosa e' $v \otimes w \in V \otimes W$ (dove $v,w$ sono vettori colonna identificati con i loro vettori delle coordinate). In questo caso ottieni che $v \otimes w$ e' la matrice (non a caso di rango $1$) ottenuta dal prodotto $v \cdot w^T$ (che non e' un prodotto scalare), dove $T$ indica la trasposta.

In particolare la mappa bilineare $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ e' suriettiva sulle matrici di rango $1$, ma si guarda bene dal prendere tutto $V \otimes W$ tranne che in casi banali (dove una delle due dimensioni e' $1$). Infatti, ad esempio $e_1 \otimes f_1 + e_2 \otimes f_2$ non puo' essere scritto come $v \otimes w$.


Mind-blowing observation: Ogni prodotto scalare $\langle \cdot , \cdot \rangle : V \times W \to \mathbb{R}$ (se assumiamo che i nostri spazi vettoriali siano su $\mathbb{R}$) e' un elemento di $V ^ \vee \otimes W^\vee$, dove $\vee$ rappresenta lo spazio duale.

[Lorentz1]

Grazie per la risposta!
Però non ho capito perchè dici che non c'è matrice associata e poi però mostri che in quel caso il prodotto tensore è proprio una matrice. Inoltre, con quel prodotto indicato col puntino che intendi? Ancora, e scusa se ne approfitto: perchè spesso i fisici chiamano le matrici tensori (tensore elettromagnetico, tensore degli sforzi, tensore di conducibilità...)? Scusa la banalità delle domande, ma a costo di sembrare stupido voglio levarmi ogni dubbio

[Lorentz1]

Grazie per la risposta!
Però non ho capito perchè dici che non c'è matrice associata e poi però mostri che in quel caso il prodotto tensore è proprio una matrice. Inoltre, con quel prodotto indicato col puntino che intendi? Ancora, e scusa se ne approfitto: perchè spesso i fisici chiamano le matrici tensori (tensore elettromagnetico, tensore degli sforzi, tensore di conducibilità...)? Scusa la banalità delle domande, ma a costo di sembrare stupido voglio levarmi ogni dubbio

[vict85]

Il prodotto tensore e' un oggetto universale, che associa ad una coppia di vettori $v \in V$ e $w \in W$ un altro vettore $v \otimes w$ che vive in uno spazio enorme $V \otimes W$. La funzione $\otimes: V \times W \to V \otimes W$ e' bilineare ma il codominio e' uno spazio vettoriale, quindi non c'e' una matrice associata (almeno, non naturalmente).

Il prodotto tensoriale è certamente un oggetto universale (nel senso delle categorie). La frase successiva però fa supporre che si tratti di una mappa, e sinceramente trovo il tutto un po' confuso.

Il prodotto tensoriale di due spazi vettoriali è paragonabile al prodotto cartesiano o alla somma diretta. Non ha invece nulla a che fare con il prodotto scalare o altre operazioni interne o esterne ― insomma non è una operazione.
In sostanza il prodotto tensoriale associa ad una coppia di spazi vettoriali due cose:

1. Uno spazio vettoriale \(\displaystyle T = V\oplus W \);
2. Una mappa bilineare \(\displaystyle b\colon V\times W \to T \).

NOTA BENE: La mappa \(\displaystyle b \) non è lineare ma bilineare.

Seppur in genere si costruisca materialmente \(\displaystyle T \), qualsiasi coppia \(\displaystyle (T,b) \) che soddisfa la proprietà universale è linearmente isomorfo al prodotto tensoriale dei due spazi.

In ogni caso, se \(\displaystyle n = \dim V \) e \(\displaystyle m = \dim W \) allora \(\displaystyle \dim V\oplus W = n\times m \). In sostanza ogni elemento di \(\displaystyle V\oplus W \) si può scrivere in modo unico nella forma \(\displaystyle \sum_{i,j} \alpha_{i,j}\mathbb{e}_i\oplus \mathbb{b}_j \) dove \(\displaystyle \{\mathbb{e}_i\} \) è una base di \(\displaystyle V \), \(\displaystyle \{\mathbb{b}_j\} \) è una base di \(\displaystyle W \) e \(\displaystyle \mathbb{e}_i\oplus \mathbb{b}_j = b(\mathbb{e}_i, \mathbb{b}_j) \) dove \(\displaystyle b \) è la mappa bilineare che definisce il prodotto tensoriale.

Riguardo alla questione sul legame tra matrici (in realtà forme bilineari) e prodotto tensoriale, nota che \(\displaystyle {\vphantom{v}}^t\mathbb{v}A\mathbb{w} = \sum_{i,j} \alpha_{i,j} v_iw_j\), non noti una certa somiglianza con la formula scritta sopra? Insomma vi è un isomorfismo lineare tra lo spazio delle forme bilineari e il prodotto tensoriale.

[dissonance]

@Lorentz: Non so se sei nel posto giusto! Qui è pieno di algebristi e geometri che ti stanno proponendo la loro visione dei tensori. Anche se in fondo si tratta sempre delle stesse cose, voi fisici generalmente adottate un punto di vista più old-school, fatto di oggetti con indici che si trasformano quando si trasformano le coordinate.

Io ho studiato un sacco di tensori all'università, spiegati dai matematici, e non ci ho mai capito granché. Dopodiché me li sono fatti spiegare dai fisici e ho iniziato a capirci qualcosina. Oggi consiglierei, a chi vuole avvicinarsi all'argomento, queste note di Sharipov.

[apatriarca]

@dissonance Al contrario di te ho iniziato a vedere i tensori dalla definizione dei fisici. L'ho trovato un concetto ambiguo e poco chiaro fino a quando non l'ho rivisto a matematica. Ma non è certamente la definizione categoriale di prodotto tensoriale quella che deve mettere chiarezza nella mente di un fisico. È infatti prima di tutto necessario comprendere che fisici e matematici non parlano la stessa lingua quando si tratta di tensori. Vengono infatti usate terminologie molto diverse e la stessa idea di tensore è diversa.

In matematica il prodotto tensoriale è una operazione tra spazi vettoriali, come il prodotto cartesiano o la somma diretta o ... Si prendono cioè due spazi vettoriali \(V\) e \(W\) e si ottiene un nuovo spazio vettoriale \(V \otimes W\) che soddisfa determinate proprietà. Se \(\{ v_1, \dots, v_n \}\) e \( \{ w_1, \dots, w_m \} \) sono delle basi dei due spazi vettoriali \(V\) e \(W\), \( \{ v_1 \otimes w_1, \dots, v_n \otimes w_m \} \) è una base di \(V \otimes W\). Un tensore è quindi semplicemente un elemento in tale spazio. In alternativa, possiamo anche vedere i tensori come mappe bilineari (multilineari nel caso più generale) da \(V \times W\) a \(k\) (dove \(k\) è il campo su cui sono definiti i due spazi vettoriali). Sono definizioni in realtà abbastanza semplici ma che non aiutano molto a comprendere i tensori in fisica.

Il primo aspetto importante quando si parla di tensori in fisica è che viene spesso preso in considerazione un solo spazio vettoriale e il suo duale. Gli elementi di questi due spazi vettoriali vengono quindi chiamati vettori e covettori (oppure vettori controvarianti e covarianti). Se \(V\) è questo spazio vettoriale, tutti i tensori saranno elementi di \( V^{\otimes h} \otimes V^{*,\otimes k}\). Tali tensori saranno quindi chiamati di tipo \((h,k)\). Vista l'interpretazione matematica, possiamo quindi vedere i tensori come mappe multilineari che prendono un certo numero di vettori e covettori e associano un numero reale. Questi tensori sono poi spesso variabili nello spazio. Sono cioè in realtà campi di tensori e non tensori in base alla terminologia matematica. Quando i tensori sono di tipo (2,0) o (1,1) o (0,2) si possono rappresentare come matrici per la semplice ragione che ci sono \(n^2\) elementi che dipendono da due indici. È inoltre possibile definire la mappa bilineare corrispondente come prodotto della matrice per i due (co)vettori in modo opportuno. Questa è la ragione per cui i tensori elettromagnetici, di inerzia, di sforzo.. sono rappresentati tutti come matrici. Nota che anche il prodotto scalare è un tensore. Può essere cioè visto come elemento di uno spazio tensoriale opportuno (ma a dire il vero un sacco di cose in matematica possono essere viste come elementi di uno spazio tensoriale opportuno eventualmente quozientato per qualcosa).

[Lorentz1]

Grazie a tutti per le risposte!
@apatriarca, però non ho capito perchè solo quei tipi di tensori si possono rappresentare come matrici.. Questo non dipende dall'isomorfismo tra lo spazio delle forme multilineari ( in cui si ha f: VxVxVxV.....xV --> W ) e lo spazio prodotto tensore $V\otimesV\otimes...\otimesV $? E visto che una forma multilineare è rappresentabile con una "matrice" a n indici mi verrebbe da pensare che posso identificare OGNI tensore con una "matrice" siffatta..

[Pappappero]

Ogni tensore di ordine $n$, se vogliamo e' una matrice a $n$ indici (meglio un multi-vettore, o un $n$-vettore, dove una matrice sarebbe da leggersi come un $2$-vettore). Il punto e' che in genere, in matematica, le matrici sono solo quelle con due indici. Per tensori di ordine piu' alto di $2$ si parla appunto di tensori, non di matrici. Ma si, un tensore del terzo ordine e' sempre rappresentabile come una scatola divisa in blocchetti con un numeretto dentro ogni blocchetto. Per ordini piu' alti, la rappresentazione e' piu' difficile e quindi si preferisce fermarsi alla rappresentazione in coordinate con una marea di indici.

[DavideGenova]

Segnalo un analogo grattacapo da me avuto.