applicazioni lineari, matrici associate, calcolo base nucleo e immagine

Messaggioda paolo1995 » 24/11/2014, 19:36

Ciao a tutti, non riuscivo a svolgere questo esercizio:

-per ciascuna applicazione lineare si scriva la matrice A associata e si calcoli una base per il nucleo e per l immagine ove se f:V-> W è un applicazione lineare definiamo nucleo e immagine come
Ker (f)={v € V|f (v)=0} c V
Im (f)={w € W|w= f (v) per qualche v in V} c W

f: R^3---> R^3, f (x, y, z)=(x+2z, y+z, z)

Io la matrice associata l ho trovata così 1 riga (1,0,2) 2 riga (0,1,1) 3 riga (0,0,1) con la trasposta di questa si dovrebbe trovare la matrice associata all applicazione lineare.
Ora determiniamo i generatori per l immagine considerando la base canonica u=f (0,0,1) =x v=f (0,1,0)=y w=f (0,0,1)=2z+z+z
Ora verifichiamo se i 3 vettori sono linearmente indipendenti o dipendenti: a (x) + b (y) + c (4z)=0
Quindi sono linearmente indipendenti e costituiscono una base per l immagine, che quindi ha dimensione 3. Per il teorema della nullità del rango
Dim Ker (f)+Dim Im (f)= Dim R^3
Dim Ker (f)=3-3=0
Il nucleo ha dimensione 0.
Io ho pensato di farlo in questo modo, di sicuro sarà sbagliato, ho provato a farlo seguendo la traccia di un altro esercizio.grazie per l aiuto!!!
paolo1995
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Re: applicazioni lineari, matrici associate, calcolo base nucleo e immagine

Messaggioda Glimpsyd » 25/11/2014, 15:58

L'applicazione lineare è definita da \(\displaystyle F\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x+2z\\y+z\\z \end{matrix}\right] \) e dobbiamo trovare una matrice \(\displaystyle A_F \) tale che \(\displaystyle A_F\underline{x}=F\underline{x} \). E' facile osservare che la matrice associata è \(\displaystyle A_F=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \) infatti \(\displaystyle A_F\underline{x}=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}x+2z\\y+z\\z \end{matrix}\right]\)

Ora dobbiamo trovare il nucleo e l'immagine di questa applicazione lineare. Il nucleo contiene tutti i vettori mandati in \(\displaystyle O \) dall'applicazione. Per trovarlo basta quindi risolvare il sistema

\(\displaystyle \begin{equation}\begin{cases}x+2y=0 \\ y+z=0 \\ z=0\end{cases}\end{equation}\)

il quale è già ridotto a scala. E' immediato dunque vedere che lo spazio delle soluzioni è lo spazio vettoriale nullo \(\displaystyle V=\{0\} \).
Dunque \(\displaystyle Ker(F)=\{0\} \), \(\displaystyle dim Ker(F)=0 \) e, per definizione di dimensione, una base di \(\displaystyle Ker(F) \) contiene zero elementi.

L'immagine è invece lo spazio generato dai tre vettori: \(\displaystyle Im(F)=Span\Biggl(\left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}2\\1\\1\end{matrix}\right]\Biggr) \).

E' facile verificare che i tre vettori sono linearmente indipendenti. Da ciò segue che formano una base per l'immagine. Quindi \(\displaystyle dim Im(F)=3 \).

Naturalmente si poteva fare anche in altri modi. Ad esempio prendendo la base canonica di \(\displaystyle R^3 \) e applicando i vettori si ha che \(\displaystyle Im(F) \) è lo span di quest'ultimi (dai quali si può estrarre una base).
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Re: applicazioni lineari, matrici associate, calcolo base nucleo e immagine

Messaggioda paolo1995 » 25/11/2014, 23:11

Grazie mille per la risposta, facile da capire anche per chi è alle prime armi come me!!!
paolo1995
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