da minomic » 26/11/2014, 13:56
In realtà secondo me è molto più semplice di come sembra. Ci chiediamo se il vettore
\[
v=\begin{bmatrix}
1\\-1\\1
\end{bmatrix}
\] fa parte oppure no dell'immagine della matrice
\[
A=\begin{bmatrix}
1&2&1\\1&2&1\\1&2&1
\end{bmatrix}
\] Questo significa che ci chiediamo se esistono dei coefficienti $x_1, x_2, x_3$ tali che
\[
A\begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{bmatrix} = v \quad\Rightarrow\quad Ax = v
\] Cioè "esistono dei coefficienti che mi fanno ottenere il vettore $v$ a partire dalla matrice $A$?"
$Ax=v$ è un sistema lineare scritto in forma matriciale. Scriviamo la matrice ad esso associata:
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\1&2&1&-1\\1&2&1&1
\end{array}\right]
\] Per il teorema di Rouché-Capelli, questo sistema ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa. Il rango dell'incompleta lo avevamo già trovato ed è pari a $1$. Per quanto riguarda la matrice completa, si vede bene che il suo rango è $2$. Infatti è possibile estrarre un minore formato dalla prima e seconda riga e dalla prima e ultima colonna, cioè
\[
\begin{bmatrix}
1&1\\1&-1
\end{bmatrix}
\] che è invertibile. Conclusione: i due ranghi sono diversi, quindi il sistema non ammette soluzione, quindi il vettore non fa parte dell'immagine.
Un altro modo sarebbe stato quello di trovare una base dell'immagine e poi verificare se il vettore $v$ fa parte del sottospazio generato dai vettori di questa base. Proviamo! Come è fatto il generico vettore dell'immagine? Deve essere un vettore linearmente dipendente dalle colonne della matrice $A$, in modo che io lo possa raggiungere con una opportuna combinazione lineare di queste. Chiamiamo
\[
w=\begin{bmatrix}
a\\b\\c
\end{bmatrix}
\] il generico vettore dell'immagine. Imporre che questo vettore sia combinazione lineare delle colonne di $A$ significa imporre che la matrice
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&a\\1&2&1&b\\1&2&1&c
\end{array}\right]
\] abbia rango $1$, cioè uguale a quello di $A$. Dobbiamo quindi imporre che
\[
\begin{cases}
b-a=0 \\ c-a = 0
\end{cases} \quad\Rightarrow\quad a=b=c
\] In definitiva il generico vettore dell'immagine può essere scritto come
\[
w = \begin{bmatrix}
a\\a\\a
\end{bmatrix} = a\begin{bmatrix}
1\\1\\1
\end{bmatrix}
\] Quindi una base dell'immagine è costituita dal vettore \(\begin{bmatrix}
1&1&1
\end{bmatrix}^T\). Il nostro vettore \(\begin{bmatrix}
1&-1&1
\end{bmatrix}^T\) è evidentemente linearmente indipendente da questa base, quindi non appartiene all'immagine di $A$.