Basi di $F_3^2$

[klodette89]

Salve ragazzi,
sto facendo dei calcoli ma gira e rigira finisco sempre allo stesso punto.
Tutte le basi di $F_3^2$ devono avere 2 vettori e quante dovrebbero essere?
${(0,1),(1,0)}$
${(1,0),(1,1)}$
${(0,1),(1,1)}$
${(2,2),(0,1)}$
${(2,2),(1,0)}$
${(2,2),(2,0)}$
${(2,2),(0,2)}$
${(0,2),(1,1)}$
${(2,0),(1,1)}$
${(1,2),(2,0)}$
${(1,2),(0,2)}$
${(2,1),(0,2)}$
${(2,1),(2,0)}$
${(0,1),(2,0)}$
${(1,0),(0,2)}$
è giusto?'

[Glimpsyd]

Cosa intendi con \(\displaystyle F_3^2 \)?

[Martino]

Per \( \displaystyle \mathbb{F}_3^2 \) si intende lo spazio vettoriale di dimensione 2 su \( \displaystyle \mathbb{F}_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{0,1,2\} \) di tutte le coppie \( \displaystyle (a,b) \) con \( \displaystyle a,b \in \mathbb{F}_3 \) .

Ci sono anche

\( \displaystyle \{(0,1),(2,2)\} \)
\( \displaystyle \{(0,1),(2,1)\} \)
\( \displaystyle \{(0,1),(1,2)\} \)
\( \displaystyle \{(1,0),(1,2)\} \)
\( \displaystyle \{(1,0),(2,1)\} \)
\( \displaystyle \{(1,1),(1,2)\} \)
\( \displaystyle \{(1,1),(2,1)\} \)
\( \displaystyle \{(2,2),(1,2)\} \)
\( \displaystyle \{(2,2),(2,1)\} \)

Sono 24 in totale. Dei \( \displaystyle \binom{8}{2} = 28 \) possibili insiemi di due vettori non nulli devi togliere i quattro della forma \( \displaystyle \{v,2v\} \) .

[klodette89]

ok! E nel caso volessi generalizzare per spazi vettoriali di dimensione $n$ su $F_p$?
Devo applicare sempre $((p^n-1),(2))$? e come tolgo le coppie ${v,2v}$? mi sono accorta di questa cosa ma non riesco a ricondurmi al caso generale!

[Martino]

Le basi ordinate le ottieni scegliendo il primo vettore non nullo, poi il secondo che non sia multiplo del precedente, poi il terzo che non sia combinazione lineare dei primi due e via dicendo, quindi ci sono esattamente

\( \displaystyle (p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2) \cdots (p^n-p^{n-1}) \)

basi ordinate. Ad ogni base non ordinata corrispondono \( \displaystyle n! \) basi ordinate, quindi il numero di basi non ordinate (cioè quello che chiedi tu) è

\( \displaystyle \frac{1}{n!} (p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{n-1}) \)

In particolare \( \displaystyle n! \) divide \( \displaystyle (p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{n-1}) \) . Curioso, chissà come si dimostra questa cosa senza usare l'algebra lineare.

[klodette89]

Grazie, hai ragione. Facendo attenzione...ora mi accorgo che hai ragione!