Buongiorno a tutti,
Sto riconsiderando la mia preparazione base per poter andare avanti nell'analisi funzionale, e ho alcuni dubbi che vorrei chiarire. Ho già verificato sul forum e non ho trovato una risposta precisa, o non l'ho capita, per questo ripropongo.
Dalla definizione di spazio metrico so che \(X \) è spazio metrico se esiste una \(d: X x X \longrightarrow \mathbb{R} \) che verifica le proprietà
1) \(d(x,y)>=0, d(x,y)=0 \Leftrightarrow\ x=y \)
2) \(d(x,y)= d(y,x) \)
3) disuguaglianza triangolare
Dalla definizione di spazio vettoriale normato so che \(X \) (o più comunemente \(V \) ) è spazio vettoriale normato se in esso è definita una norma \( \|\cdot \| \) cioè una funzione che verfica
1) \( \|v \|>=0, \|v \|=0 \Leftrightarrow\ v=0 \)
2) \( \|av \|= |a| \|v \| \) \(\forall a \in \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} , \forall v \in \mathbb{V}\)
3) disuguaglianza triangolare
Date queste definizioni io posso dire che ogni spazio vettoriale normato è uno spazio metrico.
La dimostrazione qual è?
io ho ipotizzato che siccome \( \| x-y \|\) verifica le 3 proprietà dello spazio normato se la scelgo come funzione cioè scelgo \(d=\| x-y \|\) allora verifico anche le tre proprietà dello spazio metrico, ma questo non dimostra che vale per ogni.
Per quanto riguarda la relazione inversa invece non riesco a capire perché uno spazio metrico non è uno spazio normato.
Ringrazio chiunque possa aiutarmi a capire.