Spazi Normati, Spazi metrici, Spazi vettoriali. Differenze.

[_RED_]

Buongiorno a tutti,
Sto riconsiderando la mia preparazione base per poter andare avanti nell'analisi funzionale, e ho alcuni dubbi che vorrei chiarire. Ho già verificato sul forum e non ho trovato una risposta precisa, o non l'ho capita, per questo ripropongo.

Dalla definizione di spazio metrico so che \(X \) è spazio metrico se esiste una \(d: X x X \longrightarrow \mathbb{R} \) che verifica le proprietà
1) \(d(x,y)>=0, d(x,y)=0 \Leftrightarrow\ x=y \)
2) \(d(x,y)= d(y,x) \)
3) disuguaglianza triangolare

Dalla definizione di spazio vettoriale normato so che \(X \) (o più comunemente \(V \) ) è spazio vettoriale normato se in esso è definita una norma \( \|\cdot \| \) cioè una funzione che verfica
1) \( \|v \|>=0, \|v \|=0 \Leftrightarrow\ v=0 \)
2) \( \|av \|= |a| \|v \| \) \(\forall a \in \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} , \forall v \in \mathbb{V}\)
3) disuguaglianza triangolare

Date queste definizioni io posso dire che ogni spazio vettoriale normato è uno spazio metrico.

La dimostrazione qual è?
io ho ipotizzato che siccome \( \| x-y \|\) verifica le 3 proprietà dello spazio normato se la scelgo come funzione cioè scelgo \(d=\| x-y \|\) allora verifico anche le tre proprietà dello spazio metrico, ma questo non dimostra che vale per ogni.

Per quanto riguarda la relazione inversa invece non riesco a capire perché uno spazio metrico non è uno spazio normato.
Ringrazio chiunque possa aiutarmi a capire.

[j18eos]

...ma questo non dimostra che vale per ogni...

Cosa?

...Per quanto riguarda la relazione inversa invece non riesco a capire perché uno spazio metrico non è uno spazio normato.
Ringrazio chiunque possa aiutarmi a capire.

Esempio idiot: prendiamo \(\displaystyle\mathbb{R}\) come spazio vettoriale reale di dimensione \(\displaystyle1\); definita:
\[
\forall x,y\in\mathbb{R},\,d(x,y)=\begin{cases}
1\iff x\neq y\\
0\iff x=y
\end{cases}
\]
questa è una metrica ma non una norma su \(\displaystyle\mathbb{R}\).
\(\displaystyle\mathrm{Q.E.D.}\,\Box\)

[Emar]

Ti può interessare anche questa risposta di Gugo: spazio-euclideo-normato-metrico-t104359.html#p688131

[_RED_]

...ma questo non dimostra che vale per ogni...

Cosa?

...Per quanto riguarda la relazione inversa invece non riesco a capire perché uno spazio metrico non è uno spazio normato.
Ringrazio chiunque possa aiutarmi a capire.

Esempio idiot: prendiamo \( \displaystyle\mathbb{R} \) come spazio vettoriale reale di dimensione \( \displaystyle1 \); definita:
\[ \forall x,y\in\mathbb{R},\,d(x,y)=\begin{cases} 1\iff x\neq y\\ 0\iff x=y \end{cases} \]
questa è una metrica ma non una norma su \( \displaystyle\mathbb{R} \).
\( \displaystyle\mathrm{Q.E.D.}\,\Box \)

Ok, ho capito perché vale la proposizione "uno spazio normato è uno spazio metrico". Si dimostra facendo vedere che le proprietà dello spazio normato verificano anche quelle di spazio metrico.

Però ho visto l'esempio e non riesco a dimostrare la proprietà 2 e 3 dello spazio normato con quella definizione di distanza.

Ti può interessare anche questa risposta di Gugo: spazio-euclideo-normato-metrico-t104359.html#p688131

sì sì, grazie per averlo citato, è proprio da quel post che mi sono poi venuti questi dubbi, perché l'esempio è lo stesso che c'è su alcune dispense e in nessuna però fanno vedere perché. Sicuramente per la banalità della dimostrazione, ma io ancora non la vedo.

[vict85]

Basta applicare le proprietà della norma:

\(\displaystyle \lVert x-y\rVert = \lvert-1\rvert\,\lVert y-x\rVert = \lVert y-x\rVert \)

\(\displaystyle \lVert x-y\rVert = \lVert x-z+z-y\rVert \le \lVert x-z\rVert + \lVert z-y\rVert \)

[j18eos]

...Però ho visto l'esempio e non riesco a dimostrare la proprietà 2 e 3 dello spazio normato con quella definizione di distanza...

...e io che ho scritto?

[vict85]

io ho ipotizzato che siccome \( \| x-y \|\) verifica le 3 proprietà dello spazio normato se la scelgo come funzione cioè scelgo \(d=\| x-y \|\) allora verifico anche le tre proprietà dello spazio metrico, ma questo non dimostra che vale per ogni.

Per quanto riguarda la relazione inversa invece non riesco a capire perché uno spazio metrico non è uno spazio normato.
Ringrazio chiunque possa aiutarmi a capire.

Non avevo notato questo. Il tutto è molto semplice: una norma determina univocamente un particolare spazio metrico (ma non vale il viceversa) e lo fa ponendo \(\displaystyle d(x,y) = \lVert x - y\rVert \). E norme diverse producono spazi metrici differenti. Ovviamente però più norme possono produrre lo stesso spazio topologico.

[_RED_]

...Però ho visto l'esempio e non riesco a dimostrare la proprietà 2 e 3 dello spazio normato con quella definizione di distanza...

...e io che ho scritto?

sì sì infatti, io però non riesco a dimostrarlo purtroppo.

[j18eos]

Mi fai cadere le braccia da dosso: ho scritto che quella è una metrica ma non è una norma!

[_RED_]

Non c'è bisogno di prendersela, concetti che per te sono semplici, per altri sono complicati anche se scritti in modo semplice.
tornando al discorso allora forse se riscrivo meglio la frase, andando per punti, ci capiamo:

1)quella è una metrica non è una norma e l'ho capito già da prima di scrivere il primo post perché c'è sul mio libro

2)Se FOSSE anche una norma dovrei dimostrare le tre proprietà scritte all'inizio per lo spazio vettoriale normato.

3)Siccome non è una norma ma è una metrica mi piacerebbe dimostrare entrambe le cose (che è una metrica ma non è una norma)

4)dimostro facilmente che è una metrica perché rispetta le tre proprietà dello spazio metrico scritte al primo post

5)non riesco a dimostrare matematicamente che non è una norma