Relazione geometrica tra 2 rette al variare di una variabile

[Max.89]

Salve,
sto provando a risolvere il seguente esercizio:

Data la retta \( \displaystyle s \) in forma parametrica scalare:
\( \displaystyle x=2u\\
y=-2u\\
z= u-1 \)

e la retta \( \displaystyle r \) in forma cartesiana:
\( \displaystyle x-tz+2=0\\
x+y=0 \)

Dire per quali valori di \( \displaystyle t \) la retta \( \displaystyle r \) :
a)è sghemba con s
b)è parallela con s
c)per ogni valore di t per cui le 2 rette sono incidenti determinare il loro punto in comune

L'unico punto su cui sono abbastanza sicuro è il punto b.
Il verso di s è determinato dai coefficienti del parametro u, quindi è \( \displaystyle vs=[2,\;-2,\;1] \)
Il verso di r è determinato calcolando il prodotto vettoriale tra i 2 vettori ortogonali ai 2 piani (calcolando il determinanete con il metodo di Sarrus di cui evito i passaggi):
\( \displaystyle vr=[1,\;0,\;-t]\;x\;[1,\;1,\;0]=[t,\;-t,\;1] \)
Quindi r e s sono parallele solo per \( \displaystyle t=2 \)
Siete d'accordo fino a qua?

Sono bloccato sul punto a.
Ora sappiamo che per \( \displaystyle t=2 \) le 2 rette sono parallele (quindi complanari e non sghembe).
L'unica altra condizione che penso bisogni controllare è se le 2 rette siano incidenti in qualche punto (perché in caso lo fossero allora sono complanari). Come fare?

Ho provato a sostituire i valori di s in r:
\( \displaystyle 2u-t(u-1)+2=0\\
2u-2u=0 \)
ma non si può risolvere il sistema.

Ho anche provato a convertire r in forma parametrica e fare il confronto parametro per parametro:
\( \displaystyle s(x)=r(x)\\
s(y)=r(y)\\
s(z)=r(z) \)
ma di nuovo, mi sembra che ci sia un'incognita di troppo.

Questi 2 approcci penso che funzionerebbero per un t fissato.
Avete qualche consiglio?

Grazie in anticipo.

[ciromario]

Se si sommano le prime due equazioni della retta s si ha l'equazione $x+y=0$
Entrambe le rette r ed s appartengono allora al piano $x+y=0$ e quindi sono complanari quale che sia t.
Si conclude che le rette possono essere parallele (o incidenti) per qualche valore particolare di t ma non sghembe.

[renatino]

Un metodo ...popolare è prendere due punti P,Q su s e due punti P',Q' su r.Si costruscono i vettori:
$Q-P,P'-P , Q'-P$ e poi si scrive la matrice 3x3 che ha per colonne le componenti di questi vettori: se il det di tale matrice è diverso da zero allora le due rette sono sghembe. Altrimenti sono complanari.
Nel tuo caso puoi scegliere i punti come segue:
su s: $P(0,0,-1),Q(2,-2,0)$
su r: $P'(1,-1,3/t),Q'(0,0,2/t)$
Fatti i vari calcoli, dovresti trovare che il det della matrice è sempre nullo e quindi che le due rette sono sempre complanari per qualsiasi valore di t.
A tale risultato si perviene anche con un'osservazioni sulle equazioni delle 2 rette che semplifica di parecchio il procedimento.