Sergio ha scritto:Si può però pensare che in uno spazio vettoriale i vettori sono "sospesi in aria"
O che abbiano il didietro piantato nell'origine, mentre in uno spazio affine possono "mettere il culo dove gli pare".
Concordo quasi con tutto, tranne che con la specifica:
Sergio ha scritto:Uno spazio affine numerico non è altro che uno spazio affine in cui \(V\) sia \(\mathbb{R}^n\) o \(\mathbb{C}^n\).
Preso un qualsiasi campo \(\mathbf{k}\), \(V\) può essere un qualsiasi \(\mathbf{k}^n\), poco importa che \(\mathbf{k}\) sia un campo finito, \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Q}(\pi, \sqrt{3})\), \(\mathbb{F}_{27}(x)\) o \(\mathbb{C}[x,y](t)\). Dicendo che lo spazio affine è numerico non si richiede che il campo vettoriale sia "numerico" nel senso usuale del termine (che comunque non escluderebbe \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{Q}(\pi, \sqrt{3})\) dagli esempi), ma solo che l'insieme a sostegno dello spazio affine sia lo stesso a sostegno dello spazio vettoriale, e sia il prodotto cartesiano di \(n\) volte il sostegno del campo
1 (con \(n\) dimensione dello spazio). È un ottima strategia pedagogica studiare queste cose all'inizio fissandosi in testa come esempi \(\mathbb{R}^2\) ed \(\mathbb{R}^3\) con sopra le rispettive strutture vettoriali e affini, ma una volta presa confidenza con la materia bisogna anche ricordarsi che esistono campi diversi da \(\mathbb{R}\) su cui si può fare geometria (il che non è un mero esercizio di stile o una perversione per le generalizzazioni, campi diversi da quello reale saltano fuori sia nelle applicazioni in altri rami della matematica che in alcune applicazioni alla fisica e all'informatica, tanto per fare degli esempi), non è una cosa sulla quale si può glissare.
\( \displaystyle \mathbb{C}^{*} \! \cong \mathbb{R}^{+} \! \times \mathbb{R} / \mathbb{Z} \)
\( \displaystyle {\rm Hom}(A \otimes B, C) \cong {\rm Hom}(A, {\rm Hom}(B,C)) \)
«(...) per consegnare alla morte una goccia di splendore,
di umanità,
di verità...»